PROGRAMME DE COLLE S04 FONCTIONS - MPSI Saint

MPSI du lycée Rabelais http://mpsi.saintbrieuc.free.fr
semaine du 3+4 octobre 2012
PROGRAMME DE COLLE S04
NB :
seules les démonstrations des théorèmes, propositions étoilées ne sont pas exigées.
FONCTIONS USUELLES (I)
Fonctions logarithmes puissances et exponentielles
1
Théorème-Définition*.— ln est l’unique primitive de
sur R+⋆ s’annulant en 1 : pour tout x ∈ R+⋆ , on a donc
x
Z x
dt
. De plus, la fonction ln réalise une bijection strictement croissante de R+⋆ sur R.
ln(x) =
t
1
Théorème.— Règles de calcul pour les logarithmes —. Pour tout couple (x, y) ∈ R+⋆ × R+⋆ ,
ln(x × y) = ln(x) + ln(y)
Définition : Soit a ∈]0, 1[∪]1, +∞[, on appelle logarithme de base a la fonction loga : R+⋆ → R définie pour tout
x ∈ R+⋆ par loga (x) = ln(x)/ln(a).
Théorème-Définition*.— La fonction ln est bijective de R+⋆ sur R. Son application réciproque, notée exp est appelée
fonction exponentielle. Il s’agit donc d’une bijection strictement croissante de R sur R+⋆ . Elle vérifie pour tout couple
(x, y) de réels :
x ∈ R et y = exp(x) ⇐⇒ y ∈ R+⋆ , et x = ln(y)
De plus la fonction exp est continue, dérivable et pour tout x ∈ R, (exp)′ (x) = exp(x).
Théorème.— Règles de calcul pour l’exponentielle —. Pour tout couple (x, y) ∈ R2 ,
exp(x + y) = exp(x) × exp(y)
Définition : Soit a ∈]0, 1[∪]1, +∞[, on appelle exponentielle de base a la fonction expa : R → R+⋆ réciproque de
loga . Pour tout (x, y) ∈ R × R+⋆ on a y = expa (x) ⇐⇒ x = loga (y)
Théorème-Définition*.— Soit α ∈ R, on appelle puissance d’exposant α la fonction pα : R+⋆ → R+⋆ définie
par : pour tout x > 0, par pα (x) = xα = exp(α ln x). De plus, pα est dérivable sur R+⋆ et pour tout x ∈ R+⋆ ,
p′α (x) = αxα−1 .
Proposition.— Règles de calcul pour les puissances —. Pour tous (x, y) ∈ R+⋆ × R+⋆ et (α, β) ∈ R2 , on a :
• ln xα = α ln(x)
• xα × xβ = xα+β
• xα × y α = x × y
α
• xα
β
= xα×β
Remarque : pour tout x ∈ R, on a ex = exp(x). De même, si a ∈]0, 1[∪]1, +∞[, expa (x) = exp(x ln a) = ax .
Théorème*.— Limites des fonctions puissances exponentielle et logarithme —. Soit α ∈ R+⋆
• lim ln(x) = −∞
• lim exp(x) = 0
x→−∞
x→0+
• lim ln(x) = ln(a)
x→a
• lim exp(x) = exp(a)
x→a
• lim ln(x) = +∞
x→+∞
• lim exp(x) = +∞
x→+∞
• lim pα (x) = 0
x→0+
• lim pα (x) = pα (a)
x→a
• lim pα (x) = +∞
x→+∞
Théorème.— Croissances comparées —. Soit (a, α, β) ∈ R3 tel que α > 0, β > 0 et a > 1.
(ln x)α
=0
x→+∞
xβ
• lim
xα
= 0 • lim |x|α ax = 0
x→−∞
x→+∞ ax
• lim xβ (| ln x|)α = 0 • lim
x→0+
1
Fonctions hyperboliques
Définition : Les fonctions cosinus, sinus et tangente hyperboliques sont les fonctions définies sur R par :
ex − e−x
sh (x)
ex − e−x
ex + e−x
, sh (x) =
, th (x) =
= x
Pour tout x ∈ R, ch (x) =
2
2
ch (x)
e + e−x
Relations ex = ch (x) + sh (x), e−x = ch (x) − sh (x).
Proposition.—
La fonction ch : R → R est paire, de classe C ∞ sur R et pour tout x ∈ R, ch ′ (x) = sh (x)
La fonction sh : R → R est impaire, de classe C ∞ sur R et pour tout x ∈ R, sh ′ (x) = ch (x)
1
= 1 − th 2 (x)
La fonction th : R → R est impaire, de classe C ∞ sur R et pour tout x ∈ R, th ′ (x) =
2
ch (x)
Théorème.— Relation fondamentale de trigonométrie hyperbolique —.Pour tout réel x ∈ R,
ch 2 (x) − sh 2 (x) = 1 et 1 − th 2 (x) =
1
ch (x)
2
Proposition*.— Autres formules de trigonométrie hyperbolique —.
• ch (a + b) = ch a ch b + sh a sh b, • ch (a − b) =
• sh (a + b) = sh a ch b + sh b ch a, • sh (a − b) =
ch a ch b − sh a sh b, • ch 2a
sh a ch b − sh b ch a, • sh 2a
= ch 2 a + sh 2 a
= 2sh a ch a
Savoir-faire : vous devez retrouver rapidement les autres formules de trigonométrie hyperbolique à partir des formules
de trigonométrie circulaire en changeant les signes des produits de deux sinus.
Fonctions hyperboliques réciproques
Théorème-Définition*.— Les fonctions argument sinus hyperbolique, argument cosinus hyperbolique et argument
tangente hyperbolique sont définies de la façon suivante :
sh : R → R est bijective, Argsh : R → R est sa bijection réciproque. Elle vérifie pour tout couple (x, t) de réels
x ∈ R et t = Argsh x ⇐⇒ t ∈ R et x = sh t
ch | : [0, +∞[→ [1, +∞[ est bijective, Argch : [1, +∞[→ [0, +∞[ est sa bijection réciproque. Elle vérifie pour tout
couple (x, t) de réels
x ∈ [1, +∞[ et t = Argch x ⇐⇒ t ∈ [0, +∞[ et x = ch t
th : R →] − 1, 1[ est bijective, Argth :] − 1, 1[→ R est sa bijection réciproque. Elle vérifie pour tout couple (x, t)
de réels
x ∈] − 1, 1[ et t = Argth x ⇐⇒ t ∈ R et x = th t
Proposition.— Expressions logarithmiques des fonctions hyperboliques réciproques
√
x2 + 1 ,
pour tout x ∈] − ∞, +∞[, Argsh x = ln x +
√
pour tout x ∈ [1, +∞[, Argch x = ln x +
x2 − 1 ,
1
1+x
.
ln
pour tout x ∈] − 1, 1[, Argth x =
2
1−x
Proposition.— Dérivabilité des fonctions hyperboliques réciproques
1
Argsh : R → R est dérivable sur R et pour tout x ∈ R, Argsh ′ (x) = √
.
x2 + 1
Argch : [1, +∞[→ [0, +∞[ est dérivable sur ]1, +∞[ et pour tout x ∈]1, +∞[, Argch ′ (x) = √
Argth :] − 1, 1[→ R est dérivable sur ] − 1, 1[ et pour tout x ∈] − 1, 1[, Argth ′ (x) =
2
1
.
1 − x2
1
x2
−1
.