Fonctions usuelles - TD4 Développements limités

Université Pierre et Marie Curie
Licence de Mathématiques L1
LIM10
2011-2012
Fonctions usuelles - TD4
Développements limités
Exercice 1. Etude d’une fonction définiepar morceaux
√
cosh(
√ x) si x ≥ 0
Soit f : R → R la fonction définie par f (x) =
cos( −x) si x < 0
a) Ecrire les développements limités à l’ordre 4 de cos(x) et cosh(x) au point 0.
b) Montrer que f est de classe C 1 et possède un développement limité d’ordre 2 en 0
puis le calculer.
Solution de l’exercice 1.
a) On a cos(x) = 1 −
x2
2
+
x4
4!
+ o(x5 ) et cosh(x) = 1 +
x2
2
+
x4
4!
+ o(x5 )
b) Il suffit d’étudier ce qui se passe en 0. On a lim f (x) = 1 et lim f (x) = 1 donc
f est bien continue. De plus sur
R+∗ ,
f 0 (x)
√
sin( −x)
√
2 −x
x→0− √
x)
√
= sinh(
2 x
donc
x→0+
lim f 0 (x)
x→0+
= 1/2 et sur
donc lim f 0 (x) = 1/2 donc f est C 1 . Il reste à calculer le DL
x→0−
√ 2
√ 4
√
5
à droite et à gauche. Pour x négatif, on a : cos( −x) = 1 − −x
+ −x
2
4! + o(x ) =
4
1 + x2 + x4! + o(x5 ) et on trouve bien sûr la même chose de l’autre coté.
R−∗ , f 0 (x) =
Exercice 2. Limites
Calculer les
:
limites suivantes
1
sin2 (x)
a) lim
x→0
ln(cos x)
x2
x→0
b) lim
c) lim
x→0
−
1
x2
et en déduire lim cos
n→+∞
1
n
2
exp(arctan x)−exp(tan x)
exp(arcsin x)−exp(sin x)
Solution de l’exercice 2.
a) On a en 0
1
sin2 x
=
1
3
(x− x3! +o(x4 ))2
=
cherchée est donc 31 .
1
2
x2 (1− x3 +o(x3 ))
=
1
(1
x2
+
x2
3
+ o(x4 )). La limite
2
ln(cos x)
x2
ln(1− x2 +o(x3 ))
x2
b) On a en 0
=
= − 12 + o(1). Donc la limite cherchée est − 21 . On
en déduit facilement que la deuxième limite est exp(− 21 ).
3
c) On calcule tout à l’ordre 3 et on obtient
o(1) = −2 + o(1)
2
3
3
2
3
(1+(x− x3 )+( x2 )+( x6 ))−(1+(x+ x3 )+( x2 )+( x6 ))
3
2
3
3
2
3
(1+(x+ x6 )+( x2 )+( x6 ))−(1+(x− x6 )+( x2 )+( x6 ))
+
Exercice 3. Fonctions C 2
a) Soit f : R → R une fonction de classe C 2 telle que f (0) = 0. Calculer la limite de
f (x)+f (−x)
quand x tend vers 0.
x2
1
b) Soit f : R → R une fonction de classe C 2 telle que f (0) = 0 et f 0 (0) 6= 0. Calculer,
(x2 )
quand x tend vers 0.
au moyen des dérivées de f la limite de xf (x)−f
(f (x))3
Solution de l’exercice 3.
2
a) On a f (x) = 0 + xf 0 (0) + x2 f 00 (0) + o(x2 ) et f (−x) = 0 − xf 0 (0) +
(−x)
= f 00 (0).
D’où lim f (x)+f
x2
x2 00
2
2 f (0) + o(x ).
x→0
x3 00
3
2
2 f (0) + o(x ), f (x ) =
2
00
(x )
(0)
lim xf (x)−f
= 2ff 0 (0)
3.
(f (x))3
x→0
b) On a xf (x) = 0 + x2 f 0 (0) +
0 + x3 f 0 (0)3 + o(x3 ). D’où
0 + x2 f 0 (0) + o(x3 ), (f (x))3 =
Exercice 4. Étude de comportement asymptotique
a) Donner les limites en l’infini des fonctions suivantes puis leur développement limité
’en l’infini’, càd dans la base des { x1 , x12 ...}
x
x−1
e
1
x
ln
r
√
1
1+ 2
x
x
x+1
1
1 + x cos
x
b) Faire une étude détaillée de la fonction
1
f (x) = e− x
p
x2 + x + 1
En particulier, on recherchera une asymptote oblique au voisinage de l’infini et la
position relative du graphe de f par rapport à celle-ci.
Solution de l’exercice 4. Le développement en l’infini à l’ordre 2 donne :
f (x)
11 3 1
1
=1−
+
+o
2
|x|
2x 8x
x2
ce qui permet d’étudier la position relative de Cf et de son asymptote y = x − 12 en +∞
et y = −x + 21 en −∞. Les asymptotes peuvent donc être vues comme des tangentes en
l’infini !
2