x th

FONCTIONS HYPERBOLIQUES 4
A. Fonctions exponentielle, puissance et logarithme
1. La fonction exponentielle de base a ( a > 0 )
f :\ → \
x 6 y = f ( x ) = a x = e xLn( a )
Cette fonction est continue et définie sur \ et sa dérivée s'écrit :
(a ) ' = (e
x
xLn ( a )
) ' = Ln ( a ) e
xLn ( a )
= Ln ( a ) a x
Cas particulier : l'exponentielle de base e
Propriétés :
• e0 = 1 ; e1 = e
x
• ∀x ∈ \, Ln ( e ) = x
Ln ( x )
*
=x
• ∀x ∈ \ + , e
2
x+ y
x
y
• ∀ ( x, y ) ∈ \ , e = e × e
• ∀ ( x, y ) ∈ \ , e
2
( )
x
• ∀n ∈ ] , e
•
n
x− y
= e nx ⇒ e − x =
( ) = u '( x) e ( )
e
u( x)
'
http://ginoux.univ-tln.fr
ex
= y
e
1
ex
u x
1
Limites :
ex −1
=1
• lim
x→0
x
x
• lim e = +∞
x →∞
ex = 0
• xlim
→−∞
ex
= +∞ ; α ∈ ]
• lim
x →∞ xα
2. La fonction logarithme de Neper
f : \*+ → \
x 6 y = f ( x ) = Ln ( x )
*
Cette fonction est continue et définie sur \ + et sa dérivée s'écrit :
( Ln ( x ) ) ' = 1x
Propriétés :
• Ln (1) = 0
• Ln ( e ) = 1
x
• ∀x ∈ \, Ln ( e ) = x
Ln ( x )
*
=x
• ∀x ∈ \ + , e
2
• ∀ ( x, y ) ∈ \ , Ln ( x × y ) = Ln ( x ) + Ln ( y )
⎛x⎞
2
\
∀
x
,
y
∈
,
Ln
(
)
•
⎜ ⎟ = Ln ( x ) − Ln ( y )
⎝ y⎠
n
• ∀n ∈ ], Ln x = n × Ln ( x )
( )
• ∀ 0 < x < 1 , Ln ( x ) < 0
http://ginoux.univ-tln.fr
2
Limites :
Ln ( x ) = +∞
• lim
x →∞
Ln ( x ) = −∞
• xlim
→0
+
• lim
x →1
• lim
x →∞
• lim
x →0
Ln ( x )
x −1
Ln ( x )
α
=1
= 0+ ; α ∈ ]
x
Ln (1 + α x )
x
= lim
x→0
αx
Ln (1 + α x )
=1
xα Ln ( x ) = 0 ; α > 0
• lim
x →0
3. La fonction puissance
f : \*+ → \
x 6 y = f ( x ) = x m = emLn( x )
*
Cette fonction est continue et définie sur \ + et sa dérivée s'écrit :
( x ) ' = mx
m
http://ginoux.univ-tln.fr
m −1
3
4. La fonction cosinus hyperbolique
f :\ → \
e x + e− x
x 6 y = ch ( x ) =
2
La fonction y = ch ( x ) est une fonction PAIRE.
Cette fonction est continue et définie sur \ et sa dérivée s'écrit :
( ch ( x ) ) ' = sh ( x )
5. La fonction sinus hyperbolique
f :\ → \
e x − e− x
x 6 y = sh ( x ) =
2
La fonction y = sh ( x ) est une fonction IMPAIRE.
Cette fonction est continue et définie sur \ et sa dérivée s'écrit :
( sh ( x ) ) ' = ch ( x )
http://ginoux.univ-tln.fr
4
6. La fonction tangente hyperbolique
f :\ → \
sh ( x )
e x − e− x
x 6 y = th ( x ) =
=
ch ( x ) e x + e− x
La fonction y = th ( x ) est une fonction IMPAIRE.
Cette fonction est continue et définie sur \ et sa dérivée s'écrit :
( th ( x ) ) ' = ch 1( x )
2
Relations importantes :
ch 2 ( x ) − sh 2 ( x ) = 1
ch ( x ) + sh ( x ) = e x
ch ( x ) − sh ( x ) = e − x
1
ch
2
( x)
= 1 − th 2 ( x )
Lien hypertexte : http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_hyperbolique
http://ginoux.univ-tln.fr
5
B. Fonctions hyperboliques inverses
1. La fonction argsinus hyperbolique
(
y = Argsh ( x ) = Ln x + x 2 + 1
)
⇔ x = sh ( y )
Cette fonction continue et définie sur \ et sa dérivée s'écrit :
( Argsh ( x ) ) ' =
1
x2 + 1
2. La fonction argcosinus hyperbolique
(
y = Argch ( x ) = ± Ln x − x 2 − 1
)
⇔ x = ch ( y )
Cette fonction continue et définie sur ]1, +∞[ et sa dérivée s'écrit :
( Argch ( x ) ) ' =
1
x2 −1
3. La fonction argtangente hyperbolique
y = Argth ( x ) =
1 ⎛ 1+ x ⎞
Ln ⎜
⎟ ⇔ x = th ( y )
2 ⎝ 1− x ⎠
Cette fonction continue et définie sur ]−1, +1[ et sa dérivée s'écrit :
( Argth ( x ) ) ' = 1 −1x
http://ginoux.univ-tln.fr
2
6
T.D. N°3 FONCTIONS HYPERBOLIQUES
N°1 : Étudier le passage de la trigonométrie circulaire à la
trigonométrie hyperbolique.
⎛ 1− x ⎞
,
,
,
ch
x
sh
x
th
x
th
(
)
(
)
(
)
N°2 : Étudier les fonctions :
⎜
⎟
⎝ 1+ x ⎠
N°3 : Démontrer que :
⎛x⎞
2 tan ⎜ ⎟
⎝2⎠
sin ( x ) =
•
⎛x⎞
1 + tan 2 ⎜ ⎟
⎝2⎠
⎛x⎞
2th ⎜ ⎟
⎝2⎠
sh ( x ) =
•
⎛x⎞
1 − th 2 ⎜ ⎟
⎝2⎠
N°4 : Démontrer que Arctan ( sh ( x ) ) = Arcsin ( th ( x ) )
⎛ 1 + x2 ⎞
N°5 : Étudier la fonction f ( x ) = Argch ⎜ 1 − x 2 ⎟
⎝
⎠
N°6 : Démontrer que Argth ( x ) =
1 ⎛ 1+ x ⎞
Ln ⎜
⎟
2 ⎝ 1− x ⎠
⎛1⎞
f
x
Argth
=
(
)
N°7 : Étudier la fonction
⎜ ⎟
⎝x⎠
http://ginoux.univ-tln.fr
7