Les Fonctions Hyperboliques

Chapitre IV
Les Fonctions Hyperboliques
Les Fonctions Hyperboliques
1
Les Fonctions Hyperboliques :
Définition 1
? On appelle sinus hyperbolique la fonction :
R −→ R
et − e−t
t 7−→
2
R −→ R
? On appelle cosinus hyperbolique la fonction : ch :
et + e−t
t 7−→
2
R −→ R
? On appelle tangente hyperbolique la fonction : th :
et − e−t
t 7−→ t
e + e−t
sh :
Proposition 1 (Algébrique)
? sh et th sont impaires, ch est paire.
? Pour tout x ∈ R, ch(x)2 − sh(x)2 = 1 .
Remarque 1
? Pour exprimer une formule de trigonométrie hyperbolique, il suffit de prendre une formule de trigonométrie usuelle, et de remplacer cos par ch, sin par i sh, tan par i th . Il faut ensuite prouver la formule
trouvée à l’aide des définitions sous formes exponentielles.
Proposition 2 (Analytique)
? Les fonctions sh, ch, th sont dérivables :
1
sh0 = ch, ch0 = sh, th0 = 2 = 1 − th2 .
ch
6
4
? Les limites en ±∞ de ces fonctions sont :
lim ch(x) = +∞
x→+∞
2
lim ch(x) = +∞
x→−∞
lim sh(x) = +∞
x→+∞
lim sh(x) = −∞
x→−∞
lim th(x) = 1
x→+∞
lim th(x) = −1
y 0
-4
-2
0
2
4
-2x
x→−∞
Remarque 2
? Les calculs de trigonométrie usuelle mettant en jeu
les formules d’Euler ou de Moivre se mènent de
manière analogue avec la trigonométrie hyperbolique.
2
2.1
-4
-6
Les Fonctions Hyperboliques Réciproques :
Argch :
Définition 2
ch établit une bijection de R+ sur [1, +∞[. On appelle argch la reciproque de ch R+ .
Cours de Sup : Mathématiques
LATEX 2ε
Chapitre IV
Les Fonctions Hyperboliques
Proposition 3
Pour tout x ∈ [1, +∞[ :
? ch(argch(x)) = p
x
2−1
? sh(argch(x)) = xp
? argch(x) = ln(x + x2 − 1)
3
.
2,5
Pour tout x ∈ R, ? argch(ch(x)) = |x| .
2
Proposition 4
? argch est continue sur [1, +∞[.
? argch ]1,+∞[ est dérivable.
? Le graphe d’argch admet une tangente verticale en 1.
1
? Pour tout x ∈]1, +∞[ : (argch ]1,+∞[ )0 (x) = √
.
2
x −1
2.2
1,5
1
0,5
0
2
4
Argsh :
6
8
10
x
3
Définition 3
On appelle argsh la fonction réciproque de sh.
argsh ∈ RR et est impaire.
Proposition 5
Pour tout x ∈ R :
2
? sh(argsh(x)) = x
p
2+1
? ch(argsh(x)) = xp
? argsh(x) = ln(x + x2 + 1)
? argsh(sh(x)) = x
1
.
-10
-5
0
0
5
10
0,5
1
-1x
Proposition 6
La fonction argsh est dérivable en tout point de R
1
et pour tout x ∈ R, (argsh)0 (x) = √
.
2
x +1
-2
-3
2.3
Argth :
Définition 4
On appelle argth la fonction réciproque de th.
argth ∈ R]−1,1[ et est impaire.
3
2
? th(argth(x)) = x
Proposition 7
Pour tout x ∈] − 1, 1[ :
1
? ch(argth(x)) = √
1 − x2
x
? sh(argth(x)) = √
1 − x2
1
1+x
? argth(x) = ln
2
1−x
Pour tout x ∈ R : argth(th(x)) = x .
Proposition 8
La fonction argth est dérivable sur ] − 1, 1[ :
1
.
pour tout x ∈] − 1, 1[, (argth)0 (x) =
1 − x2
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1
.
-1
-0,5
0
0
-1x
-2
-3
/ 2/2 .
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