Mod`eles stochastiques et applications `a la finance

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Université Pierre et Marie Curie
Master M1 de Mathématiques, 2015-2016
Modèles stochastiques et applications à la finance
Examen du 8 Juin 2016, Deuxième Session
Corrigé
Exercice 1
Soit {Wt , t ≥ 0} un mouvement brownien sur (Ω, (Ft ), P) avec W0 = 0, et
Zt = e−Wt −t/2 .
a. Montrer que (Wt + t)Zt est une intégrale stochastique.
Sol: On aplique la formule d’Ito à f (t, x) = (x + t)e−x−t/2 . On voit que
1 ∂ 2f
∂f
+
=0
∂t
2 ∂t2
donc par Ito
Z
(Wt + t)Zt =
0
t
∂f
(t, Wt ) dWt =
∂x
Z
t
(1 − Ws − s)e−Ws −s/2 dWs
0
b. Montrer que (Wt + t)Zt est une martingale.
Sol: D’après le cours il suffit de voir que
Z t
E((1 − Ws − s)2 e−2Ws −s )ds < +∞
0
ce qui est facile car Wt suit la loi N (0, t).
Exercice 2
(Il aurait été plus interessant de prendre Xk+1 = εk (1 − Uk )Xk , (sic))
2
On suppose que des variables aléatoires εk , k = 0, 1, · · · sont indépendantes et
de même loi µ et vérifient
Z 1
0 ≤ εk ≤ 1,
| ln(t)|dµ(t) < +∞.
0
Pour X0 = x ≥ 0 donné, on considère la suite Xk , k = 0, 1, 2 · · · , N − 1 de réels
définis par
Xk+1 = εk Uk Xk .
où 0 ≤ Uk ≤ 1.
On cherche
N
−1
X
J(x) = max E([
ln(Uk Xk ) + ln(XN )])
k=0
qui maximise le gain sur les choix possibles de U0 , · · · , UN −1 où chaque Uk est à
valeurs dans [0, 1] et est mesurable par rapport à σ(X0 , · · · , Xk ).
1. Ecrire ceci sous forme de programmation dynamique.
Sol: On est dans le cadre d’un modèle dynamique aléatoire controlé. Le modèle
est markovien avec R comme espace d’états, [0, 1] comme ensemble de controles,
Z 1
(u)
P f (x) =
f (tux)dµ(t)
0
et les couts c(x, u) = ln(ux), γ(x) = ln x. La solution est donnée par Bellman en
posant JN (x) = ln(x) puis pour n < N ,
Z 1
Jn (x) = max [ln(ux) +
Jn+1 (tux)dµ(t)
0≤u≤1
0
2. Ecrire complètement la solution de ce problème lorsque N = 1.
Sol: Quand N = 1 on a J1 (x) = ln x et
Z
1
J0 (x) = max [ln(ux) +
0≤u≤1
Z
= 2 ln(x) +
J1 (tux) dµ(t)]
0
1
ln(t)dµ(t) + 2 max ln(u)
0≤u≤1
0
R1
qui est atteint pour u = 1 et vaut 2 ln(x) + 0 ln(t)dµ(t)
3. Dans le cas général, calculer explicitement les valeurs de U0 , · · · , UN −1 .
3
Sol: Dans le cas général la première étape est la même que la précédente donc
Z 1
ln(t)dµ(t)
JN −1 (x) = 2 ln(x) +
0
atteint pour u = 1. On voit par récurrence que
Z
JN −k (x) = (k + 1) ln(x) + k
t
ln(t)dµ(t)
0
atteint pour u = 1.
Exercice 3
On considère un marché financier {(Sn , Bn ), n = 0, · · · , N, } défini sur un
espace (Ω, (Fn ), m), ave F0 = {∅, Ω}. On suppose pour simplifier que Bn = 1
pour tout n et que les variables aléatoires S0 , · · · , SN sont bornées. On introduit
l’hypothèse suivante:
(H) Pour tout portefeuille autofinancé Vn , 0 ≤ n ≤ N, pour lequel VN est borné,
Z
VN (ω) dm(ω) = V0 .
Ω
1. Montrer que m est une probabilité. On pose P = m dans la suite.
R
Sol: Vn = 1 pour tout n est autofinancé. Donc Ω 1 dm(ω) = 1 et m est une
probabilité.
2. Montrer que si P est une mesure martingale, alors l’hypothèse (H) est vérifiée.
On sait qu’alors Vn est une martingale locale. Puisque VN est bornée, c’est une
vraie martingale. Donc E(VN ) = E(V0 ) = V0 .
3. On suppose que (H) est vraie. Montrer que si αn , n = 1, · · · , N est un
processus prévisible borné, alors
E(αn Sn ) = E(αn Sn−1 )
pour tout n ≤ N .
Sol: Puisque αn est prévisible, pour tout p ≤ N le portefeuille donné par Vn = 0
si n < p, Vn = αp (Sp −Sp−1 ) pour n ≥ p est autofinancé. On a donc, par l’hypothèse
(H),
0 = V0 = E(VN ) = E(αp (Sp − Sp−1 )) = E(αp Sp ) − E(αp Sp−1 )
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4. Montrer que si (H) est vraie, alors P est une mesure martingale.
Sol: Par la question précédente, pour toute variable borné α Fn−1 mesurable
E(αSn ) = E(αSn−1 )
c’est à dire, par la caractérisation de l’espérance conditionnelle, E(Sn |Fn−1 ) =
Sn−1 .
5. On ne suppose plus que (H) est vraie, mais qu’il y a AOA et que m
est une probabilité (que l’on pourra encore noter P). Attention que P n’est pas
nécéssairement une mesure martingale. On suppose aussi Ω fini. Montrer qu’il existe un processus Zn , n = 0, · · · , N , tel que Zn Sn est une martingale sur (Ω, (Fn ), P)
en utilisant éventuellement le lemme de Bayes.
Sol: Sous AOA il y a une mesure martingale Q équivalente à P. Soit
Z=
dQ
dP
et Zn = E(Z|Fn ). Sous Q, Sn est une martingale, donc
EQ (Sn+1 |Fn ) = Sn
Par le lemme de Bayes
EQ (Sn+1 |Fn ) =
E(Sn+1 Z|Fn )
E(Z|Fn )
Puisque
E(Sn+1 Z|Fn ) = E(E(Sn+1 Z|Fn+1 )|Fn ) = E(Sn+1 Zn+1 |Fn )
on en déduit que
E(Sn+1 Zn+1 |Fn ) = Sn Zn