drt = (a − br t)

[Corrigé exercices 50,51,52 du TD d’Evaluation Actifs 2008/2009]
Ex. 50. Modèle de Vasiček
Dynamique:
drt = (a − b rt)dt + σdBt
1)
dXt = d[ebtrt] = b Xt dt + ebtdrt = b Xt dt + ebt(a − b rt)dt + ebtσdBt = a ebtdt + ebtσdBt
2) L’équation pour X est une équation à coefficients qui ne dépendent pas de X donc
Z
Xt = X0 +
t
Z
bs
a e ds +
0
t
ebsσdBs
0
ou
Z
rt = r −btr0 + a
t
e−b(t−s)ds + σ
0
Z
t
e−b(t− s)dBs
0
3) L’intégrale stochastique est une intégrale de Wiener qui à une loi Gaussienne à moyenne
nulle. On calcul
Z t
1 − e−bt
E[rt] = r −btr0 + a
e−b(t− s)ds = r −btr0 + a
b
0
Var(rt) = E[(σ
Z
t
e
−b(t− s)
2
dBs) ] = σ
0
2
Z
t
e−2b(t− s)ds = σ 2
0
1 − e−2bt
2b
ce qui donne
rt ∼ N (r −btr0 + a
1 − e−bt 2 1 − e−2bt
,σ
).
b
2b
4) Le payoff du zéro-coupon est la v.a. constante 1.
5) P (t, T ) est le prix à l’instant t du zéro-coupon de maturité T . Le prix actualisé est
P̃ (t, T ) = e−
R
t
r ds
0 s
P (t, T )
R
T
Au temps T on a P (T , T ) = 1 et donc P̃ (T , T ) = e− 0 rsds. Par AOA le prix actualisé doit être
martingale sous Q donc P̃ (t, T ) = EQ[P̃ (T , T )|Ft] et si on revenons à la version non-actualisé on
obtient
P (t, T ) = e
6) La v.a.
R
T
t
R
t
r ds
0 s
EQ[e−
R
T
r ds
0 s
|Ft] = EQ[e−
R
T
r ds
t s
|Ft].
rsds est Gaussienne et donc
EQ[e−
R
T
r ds
t s
|Ft] = e
−EQ [
R
R T
T
1
r ds|Ft]+ 2 VarQ ( t rsds|Ft)
t s
où
EQ[
Z
t
T
rsds|Ft] =
Z
t
T
r −bsr0 + a
Z
s
e−b(s− u)ds + σ
0
Z
0
1
t
e−b(s− u)dBu ds = et
VarQ(
Z
T
rsds|Ft) = σ 2 VarQ
Z
T
t
t
= σ 2 VarQ
Z
T
0
Z
T
e
Z
−b(s− u)
u
s
e
!
dBu dsFt
!
−b(s− u)
0
dsdBuFt = Ex. 51. Stratégies autofinancées de zéro-coupons
1) On peut montrer que le prix B(t, T ) du zéro-coupon de maturité T suive la dynamique
dB(t, T ) = rtB(t, T )dt − σ ∗f (t, T )B(t, T )dWt ,
B(T , T ) = 1.
Par Itô on a
d(B(t, T ) −1) = −
rtB(t, T )dt − σ ∗f (t, T )B(t, T )dWt σ ∗f (t, T )2
dB(t, T ) dhB( · , T )it
+
=−
+
dt
2
3
B(t, T )
B(t, T )
B(t, T )2
B(t, T )
car dhB( · , T )it = σ ∗f (t, T )B(t, T )dt. On a aussi
d[
dB(t, T )
1
1
B(t, T )
]=
+ B(t, T )d[
] + dhB( · , T ),
it
B(t, T O )
B(t, T O)
B( · , T O )
B(t, T O)
=
rtB(t, T )dt − σ ∗f (t, T )B(t, T )dWt
B(t, T O )
rtdt − σ ∗f (t, T O)dWt σ ∗f (t, T O )2
+ B(t, T ) −
+
dt
B(t, T O)
B(t, T O)
− σ ∗f (t, T )B(t, T )
!
σ ∗f (t, T O)
dt
B(t, T O)
= B F (t, T )[ − σ ∗f (t, T )dWt + σ ∗f (t, T O)dWt + σ ∗f (t, T O)2dt − σ ∗f (t, T )σ ∗f (t, T O)dt]
2)
dVtF = d[
Vt
dVt
1
1
]=
+ Vtd[
] + dhV ,
it
O
O
O
B(t, T )
B(t, T )
B(t, T )
B( · , T O )
=
HtO dB(t, T O ) + HtdB(t, T )
1
+ Vtd[
]
O
B(t, T )
B(t, T O)
+ HtOdhB( · , T O),
= HtO d[
1
1
it + HtdhB( · , T ),
it
B(t, T O)
B(t, T O )
1
1
B(t, T O)
H dB(t, T )
]+ t
+ HtB(t, T )d[
] + HtdhB( · , T ),
it
B(t, T O )
B(t, T O )
B(t, T O)
B(t, T O )
=0
=
HtdB(t, T )
1
1
B(t, T )
+ HtB(t, T )d[
] + HtdhB( · , T ),
it = Htd[
] = HtdB F (t, T )
B(t, T O )
B(t, T O )
B(t, T O )
B(t, T O )
Ex. 52. Stratégie de couverture d’options sur zéro-coupons
2
1) Soit R(t) = exp( −
R
t
0
rsds). Le processus Xt = B(t, T O )R(t) est solution de
dXt = d[B(t, T O)R(t)] = rtR(t)B(t, T O )dt − σ ∗f (t, T O )R(t)B(t, T O)dWt − rtR(t)B(t, T O )dt
= − σ ∗f (t, T O )R(t)B(t, T O )dWt = − σ ∗f (t, T O)XtdWt
avec condition initiale X0 = B(0, T O).
R t
Le processus Yt = B(0, T O )exp( − 0 σ ∗f (s, T O)dWs −
exponentielle, solution de l’équation
1
2
R
t
0
σ ∗f (s, T O)ds) est une martingale
dYt = − σ ∗f (t, T O)YtdWt
avec condition initiale Y0 = B(0, T O ). Les deux processus sont solution de la même équation
linéaire avec la même condition initiale qui admet une unique solution. Donc Xt = Yt.
2)
X
Y
Lt = t = t = exp( −
X0 Y0
Z
t
σ ∗f (s, T O )dWs −
0
1
2
Z
t
σ ∗f (s, T O )ds)
0
qui est une martingale exponentielle.
3) Par la formule de Bayes
F
F
EP [B F (t, T )|Fs] = EP [
= EP[
B(t, T )
B(t, T )
|Fs] = EP[
L O |Fs]Ls−1
B(t, T O )
B(t, T O) T
B(0, T O)
B(t, T )
−1
P[ B(t, T ) R(t)|F ]
L
|F
]L
=
E
t
s
s
s
B(0, T O)
B(s, T O)R(s)
B(t, T O )
= EP[
B(s, T )
B(0, T O )
B(s, T )
R(s)|Fs]
=
= B F (s, T )
O
B(0, T )
B(s, T O) B(s, T O )
car R(t)B(t, T ) est aussi proportionnel à une martingale exponentielle. Donc B F (t, T ) est une
R t
martingale et VtF = V0F + 0 HsdB F (s, T ) est un intégrale stochastique par rapport à une martingale qui est donc martingale (les hypothèses sur Hs garantissent l’integrabilité nécessaire).
4) Ici note Xt = B F (t, T ). La dynamique de Xt est
dXt = at Xtdt + bt XtdWt
où at = σ ∗f (t, T O )(σ ∗f (t, T O ) − σ ∗f (t, T )) et bt = σ ∗f (t, T O) − σ ∗f (t, T ). Ici W est un Brownien sous
la proba originaire P. (Attention, ce n’est pas un Brownien sous la proba PF ). Par Girsanov le
processus W est solution de
dWt = − σ ∗f (t, T O)dt + dWtF
où W F est un Brownien sous PF donc
dXt = at Xtdt − btσ ∗f (t, T O)dt + bt XtdWtF = bt XtdWtF
Le processus VtF est une martingale sous PF , donc EF [VTFO |Ft] = VtF pour tout t 6 T O. On a
que VTFO = φ(B F (T O , T )) = φ(B(T O , T )). En utilisant la formule de Itô on a
dπσ f (t, B F (t, T )) = ∇πσf (t, B F (t, T ))dB F (t, T ) =
3
la partie en dt est nulle car on suppose que πσ f est solution de l’EDP et
dB F (t, T ) = (σ ∗f (t, T O) − σ ∗f (t, T ))B F (t, T )dWtF
donc
dπσf (t, B F (t, T )) = ∇πσ f (t, B F (t, T ))(σ ∗f (t, T O) − σ ∗f (t, T ))B F (t, T )dWtF
qui donné la forme intégrale
πσ f (T O , B F (T O , T )) = πσ f (t, B F (t, T ))
+
Z
TO
∇πσf (s, B F (s, T ))(σ ∗f (s, T O ) − σ ∗f (s, T ))B F (s, T )dWsF
t
En prenant l’espérance par rapport à EF [ · |Ft] on obtient
πσf (t, B F (t, T )) = EF [πσ f (T O , B F (T O , T ))|Ft] = EF [φ(B F (T O , T ))|Ft] = VtF
par la condition limite sur πσf pour t = T O . En conclusion on a montré que
VtF = πσf (0, B F (0, T )) +
Z
t
∇πσ f (s, B F (s, T ))dB F (s, T )
0
et donc que Hs = ∇πσ f (s, B F (s, T )) et que HtO = VtF − HtB F (t, T ) ce qui décrit complètement la
stratégie de couverture.
4