Exo M2 recherche

Exo M2 recherche - Lille 1
TRAN Viet Chi ([email protected], Bureau 316 Bâtiment M3)
page web : http://math.univ-lille1.fr/~tran/enseignements.html
Exercice 1 (Fonctions et Processus à variations finies)
1. Soit a(t), t ∈ [0, T ] une fonction à variations finies et soit µ une mesure signée telle que
a(t) = µ([0, t]). Montrer qu’il existe une unique décomposition µ = µ+ − µ− où µ+ et µ− sont
des mesures finies positives à support disjoint.
Exercice 2 (Martingales locales)
1. Si M est une martingale locale, il en est de même pour M T = (Mt∧T )t≥0 pour tout temps
d’arrêt T .
2. Si (Tn ) réduit M et si (Sn ) est une suite de t.a. tendant p.s. vers +∞, alors (Tn ∧ Sn ) réduit
également M .
3. Si M et N sont deux martingales locales, M + N est encore une martingale locale.
4. Une martingale locale positive M (issue de 0) est une sur-martingale.
Exercice 3 (Compléments à la preuve de la variation quadratique)
Soit M une martingale continue et bornée par K > 0.
1. Soit (tni )0≤i≤pn une suite de subdivisions emboı̂tées de [0, T ] dont le pas décroı̂t vers 0. On
considère :
pn
X
n
Xt =
Mtni−1 Mtni ∧t − Mtni ∧t
i=1
Montrer que
(Xtn )t∈R+
est une martingale continue.
2. En décomposant MT2 avec les accroissements le long de la subdivision (tni )0≤i≤pn , montrer
que :
pn
X
2
n
MT = XT +
(Mtni − Mtni−1 )2 .
i=1
3. Montrer que XTn − XTm =
Ppn
i=1
Mtni − Mtni−1
2
−
Ppm
i=1
2
m
Mtm
−
M
.
t
i
i−1
Notre but est de montrer que :
lim
n,m→+∞
E (XTn − XTm )2 = 0.
1
4. Soient deux subdivisions de [0, T ] : {si , 1 ≤ i ≤ p} ⊂ {ti , 1 ≤ i ≤ q}. On pose wi =
max{sj , sj ≤ ti } et :
Z=
p
X
Msi − Msi−1
2
Montrer que Z = 2
i=1 ξi
5. Montrer que E(Z 2 ) =
Mti − Mti−1
2
i=1
i=1
Pq
−
q
X
avec ξi = (Mti − Mti−1 )(Mti−1 − Mwi−1 ).
Pq
i=1
E(4ξi2 ).
6. On introduit αi = min{tk /|Mtk − Mwi | ≥ ε} ∧ min{sj /sj > wi }. Soit N ≥ 1 et L =
P
min{`/ `i=0 1αi <ti = N }. On pose γ = αL si L < +∞ et T sinon. Montrer que :
X
E(Z 2 ) ≤ Cε2 E(MT2 ) + C 0 E(MT2 − Mγ2 ) + C 00 E
1αi <ti (Mt2i − Mα2i ) .
i≤L
Conclure.
Exercice 4 (Espace des martingales de carré intégrables bornées dans L2 )
On note H2 l’ensemble des martingales continues bornées dans L2 et issues de 0, que l’on munit
du produit scalaire :
(M, N )H2 = E(hM, N i∞ ).
(1)
1. Justifier que (1) est bien défini pour des M, N ∈ H2 . Prouver que (1) définit bien un produit
scalaire.
2. Montrer que (H2 , (., .)H2 ) est un espace de Hilbert.
Exercice 5 (Densité des processus élémentaires dans L2 (M ))
Soit M une martingale de H2 .
Pp−1
Hi (ω)1]ti ,ti+1 ] (s)
On considère l’espace des processus élémentaires E de la forme Hs (ω) = i=0
avec p ∈ N∗ , (ti ) une suite finie de R+ et Hi des v.a. Fti -mesurables.R
+∞
Soit également L2 (M ) l’espace des processus progressifs H tels que E( 0 H 2 (s)dhM is ) < +∞.
Montrer que E est dense dans L2 (M ).
2