td processus stochastiques

ISFA 2ème année
07/10/2004
TD PROCESSUS STOCHASTIQUES
Martingales en temps discret
Exercice 1 Temps d’arrêt et filtration
Soit T un temps d’arrêt, (Xn )n≤0 un processus stochastique, et (Fn )n≤0 une filtration telle que Xn est
adapté à Fn (c’est-à-dire σ(X1 , ..., Xn ) ⊂ Fn ).
1. Rappeler la définition de FT la σ-algèbre engendrée par T , représentant l’information accumulée
jusqu’au temps T .
2. On note XT le processus :

X1 (ω)




 ...
Xn (ω)
XT (ω) =


...



0
si T (ω) = 1
si T (ω) = n
(1)
si T (ω) = +∞
Montrer que XT est FT -mesurable.
3. Montrer que Si T (ω) = n, alors E(Y |FT )(ω) = E(Y |Fn )(ω).
4. Montrer que si S ≤ T deux temps d’arrêt, alors FS ⊂ FT .
Exercice 2 Processus arrêté
Soit X un processus stochastique indexé sur un ensemble discret T . On définit Y le processus arrêté
de X par un temps d’arrêt τ borné, noté aussi X τ , par :
Xt si t < τ
Yt =
Xτ si t ≥ τ
1. Démontrez que si X est adapté à F, il en est de même pour Y .
2. Montrez que si X est une martingale (respectivement une sur-martingale), il en est de même
pour Y .
P
(indication : montrez que Y se décompose en Yt = X0 + ts=0 ξs (Xs − Xs−1 ) pour un processus
ξs bien choisi)
Exercice 3 Martingale de Doob
1. Soit (Ω, A, F, P ) un espace probabilisé filtré tel que card(Ω) < +∞ et Ft=0,...,T une filtration.
On définit le processus Y par :
Yt = E [X|Ft ]
où X est une variable aléatoire intégrable. Montrez que Y est une martingale par rapport à F,
que l’on appellera martingale de Doob de X.
2. Soit X une variable aléatoire réelle définie sur (Ω, A, F, P ) avec card(Ω) = 8, A = P(Ω) et
p(ω) = 1/8, ∀ω. X est définie par X(ωi ) = i, ∀i = 1, ..., 8. On note F la filtration engendrée par
les partitions suivantes : P0 = Ω, P1 = {{ωj , j = 1, .., 4}, {ωj , j = 5, .., 8}},
P2 = {{ωj , j = 1, 2}, {ωj , j = 3, 4}, {ωj , j = 5, 6}, {ωj , j = 7, 8}}, P3 = {{ωj }, j = 1, .., 8}
(a) Construisez la martingale de Doob Y de X.
(b) On suppose maintenant que la probabilité P est définie par P (ωi ) = 1/9 pour i = 1, 2, 3, 6, 7, 8
et P (ωi ) = 1/6 pour i = 4, 5. Construisez à nouveau Y avec ces nouvelles probabilités.
Exercice 4 Fortune du joueur
Un joueur de pile ou face débute à la date 0 avec une richesse X0 . La pièce utilisée est équilibrée, et
les résultats sont +1 si pile sort et −1 si face sort. Les jets successifs sont supposée indépendants.
1. T parties sont prévues. Montrez que le processus de richesse du joueur, noté X, est une martingale
en précisant l’espace probabilisé et la filtration utilisée.
2. Le joueur décide de s’arrêter de jouer dès que son gain est strictement positif. Soit X son processus
de richesse. Est-ce que X est une martingale ? Pourquoi ?
Exercice 5 Ruine du joueur
Deux joueurs, le joueur A possédant a euros et le joueur B en possédant b, parient sur une pièce de
monnaie. Ils misent un euro à la fois, et à chaque coup le gagnant remporte la mise. Le jeu cesse quand
l’un des deux est ruiné. En appliquant le théorème d’arrêt à XT ∧n où T est le temps d’arrêt du jeu,
calculer la probabilité que A gagne la fortune de B.
Exercice 6 Martingales et Options Américaines
Soit (Ω, A, F, P ) un espace probabilisé filtré tel que card(Ω) < +∞ et Ft=0,...,T une filtration. Soit un
processus Z adapté à F et intégrable. On définit le processus U par :
UT
= ZT
Ut = max(Zt ; E[Ut+1 |Ft ])
1. Montrez que U est une surmartingale adaptée à F, et que Ut ≥ Zt , ∀t.
2. Soit Γ l’ensemble des surmartingales X telles que Xt ≥ Zt , ∀t. Montrez que ∀X ∈ Γ :
∀t ≤ T, Xt ≥ Ut
Indication : raisonnez par récurrence en partant de la date T
3. Soit τ = inf{t ≤ T, Ut = Zt }. On définit Y le processus arrêté de U par Yt = Umin(t,τ ) .
(a) Montrez que
∀ω ∈ {τ ≥ t + 1}, Ut (ω) = E(Ut+1 |Ft )(ω).
(b) Déduisez que Y est une martingale.
4. Quelle interprétation financière donnez-vous aux processus Z et U .
Exercice 7 Ordres de Bourse
La date du jour est le 5 décembre. Parmi les ordres de bourse suivants, quels sont ceux dont la date
d’exécution est un temps d’arrêt ? Précisez pour chaque exemple le filtration pertinente en supposant
une seule cotation par jour.
1. Achat de 10000 Alcatel à 13=C : date limite de validité le 31 décembre. Alcatel cote aujourd’hui
à 13, 4=C.
2. Vente de 40000 Eurotunnel à 0, 7=C : date limite de validité le 31 décembre. Eurotunnel cote
aujourd’hui à 0, 6=C.
3. Achat de 100 Air Liquide au cours minimum entre aujourd’hui et le 31 décembre. Air Liquide
cote aujourd’hui à 140=C.
Exercice 8 Processus à espérance constante et Martingales
Une urne contient un nombre de boules pair N . La moitié des boules sont blanches et les autre sont
noires. A chaque tirage, on tire (sans remise) une boule au hasard. On définit Y (resp. Z) le processus
comptant le nombre de boules blanches (resp. noires) tirées. On retient ici la filtration naturelle de Y
(montrez que cette filtration est la même que celle engendrée par Z).
Soit Xn = Yn − Zn l’écart entre le nombre de boules blanches et le nombre de boules noires tirées après
n tirages. Montrez que le processus X a une espérance constante, mais que X n’est pas une martingale.
Définition 1 Processus prévisible, processus adapté
Un processus stochastique (Xn )n∈N avec N au plus dénombrable est dit
– adapté a une filtration F si ∀n, Xn est Fn -mesurable.
– prévisible par rapport à une filtration F si ∀n > 0, Xn est Fn−1 -mesurable.
Exercice 9 Processus de valeur d’une stratégie autofinancée
Sur un marché financier sont échangés K titres, dont les prix en date t sont notés Xt = (Xt1 , .., XtK ). Les
cotations sont supposées être discrètes (t ∈ N). On suppose que le processus de prix est une martingale.
On appelle stratégie de portefeuille θ = (θt1 , .., θtK ) tout processus prévisible borné (θ représente la part
détenue dans chaque actif entre t − 1 et t).
1. Quelle est la valeur du portefeuille détenu par l’agent dont la stratégie est θ à l’instant t ?
2. Montrer que si X est une martingale et θ un processus prévisible borné, alors le processus Z
défini par Z0 = 0 et
K X
t
X
k
Zt =
θsk (Xsk − Xs−1
)
k=1 s=1
est une martingale.
3. Une stratégie de portefeuille θ est dite autofinancée si ∀t :
K
X
k=1
θtk Xtk
=
K
X
k
θt+1
Xtk
k=1
Montrer que si X est une martingale et θ une stratégie autofinancée, alors le processus de valeur
de la stratégie est une martingale. Quelle est la signification financière d’un tel résultat ?