La correction du DS1

TS - Maths - D.S.1 - Correction
Exercice 1
Samedi 29 septembre 2015 - 2h
(3 points)
On considère la suite (u n ) définie sur N par : u 0 =
1
et u n+1 = 5u n − 1
4
1. Calculer u 1 , u 2 et u 3 .
On a :
u1 = 5 ×
1
5
1
−1 = −1 = ;
4
4
4
u2 = 5 ×
1
5
1
−1 = −1 = ;
4
4
4
2. Conjecturer l’expression explicite de la suite (u n ).
On conjecture que pour tout entier naturel n, u n =
u3 = 5 ×
1
5
1
−1 = −1 =
4
4
4
1
4
3. Démontrer cette conjecture par récurrence.
Soit P n la propriété « u n =
1
».Montrons que P n est vraie pour tout entier n.
4
• Initialisation
1
On sait que u 0 = . donc P 0 est vraie.
4
• Hérédité
1
On suppose qu’à un rang k fixé, P k est vraie i.e. u k = , montrons alors que P k+1 est vraie i.e.
4
1
u k+1 = .
4
D’après l’énoncé , on sait que : u k+1 = 5u k − 1
1
= 5 × − 1 par hypothèse de récurrence
4
5
=
−1
4
1
=
4
Ainsi, P k+1 est vraie.
• Conclusion
1
D’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel n, u n = , donc (u n ) est la suite constante
4
1
égale à .
4
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Exercice 2
(8.5 points)
Partie A
On considère l’algorithme suivant :
Variables :
Entrée :
Traitement
Sortie :
k et p sont des entiers naturels
u est un réel
Demander la valeur de p
Affecter à u la valeur 5
Pour k variant de 1 à p
Affecter à u la valeur 0, 5u + 0, 5(k − 1) − 1, 5
Fin de pour
Afficher u
Faire fonctionner cet algorithme pour p = 2 en indiquant les valeurs des variables à chaque étape.
variables
Entrée
Initialisation
Etape 1
Etape 2
k
1
2
p
2
2
2
2
u
Afficher
5
1
-0.5
-0.5
Quel nombre obtient-on en sortie ?
On obtient en sortie : −0, 5.
Partie B
Soit (u n ) la suite définie par son premier terme u 0 = 5 et, pour tout entier naturel n par
u n+1 = 0, 5u n + 0, 5n − 1, 5.
1. Modifier l’algorithme de la première partie pour obtenir en sortie toutes les valeurs de u n pour n variant de 1 à p.
Algorithme modifié :
Variables :
Entrée :
Traitement :
Sortie :
k et p sont des entiers naturels
u est un réel
Demander la valeur de p
Affecter à u la valeur 5
Pour k variant de 1 à p
Affecter à u la valeur 0, 5u + 0, 5(k − 1) − 1, 5
Afficher u
Fin de pour
2. A l’aide de l’algorithme modifié, après avoir saisi p = 4, on obtient les résultats suivants :
n
un
1
1
2
−0, 5
3
−0, 75
4
−0, 375
Peut-on affirmer, à partir de ces résultats, que la suite (u n ) est décroissante ?
Justifier.
Puisque u 4 > u 3 la suite (u n ) n’est pas décroissante, du moins pas avant le rang 4.
3. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 3, u n+1 > u n .
Soit P n la propriété : u n+1 > u n . Montrons que P n est vraie pour tout entier n supérieur ou égal à 3.
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• Initialisation
Montrons que P 3 est vraie.
On vient de voir que u 4 > u 3 donc P 3 est vraie.
• Hérédité
On suppose qu’à un rang k fixé (k ≥ 3),Pk est vraie i.e u k+1 > u k . Montrons alors que P k+1 est
vraie i.e. u k+2 > u k+1 .
Par hypothèse de récurrence, on a : u k+1 > u k
D’où 0, 5u k+1 > 0, 5u k ; D’autre part : k + 1 > k ⇒ 0, 5(k + 1) > 0, 5k d’où par somme des ces deux
dernières inégalités :
0, 5u k+1 + 0, 5(k + 1) > 0, 5u k + 0, 5k et en ajoutant −1, 5 à chaque membre :
0, 5u k+1 + 0, 5(k + 1) − 1, 5 > 0, 5u k + 0, 5k − 1, 5 soit u k+2 > u k+1 : P k+1 est vraie.
• Conclusion
D’après le principe de récurrence, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 3, u n+1 > u n ce
qui montre que la suite (u n ) est croissante à partir du rang 3.
4. Soit (v n ) la suite définie pour tout entier naturel n par v n = 0, 1u n − 0, 1n + 0, 5.
Démontrer que la suite (v n ) est géométrique de raison 0, 5 et exprimer alors v n en fonction de n.
Pour tout naturel n, on a :
v n+1 = 0, 1u n+1 − 0, 1(n + 1) + 0, 5
= 0, 1u n+1 − 0, 1n + 0, 4
= 0, 1 (0, 5u n + 0, 5n − 1, 5) − 0, 1n + 0, 4
= 0, 05u n + 0, 05n − 0, 15 − 0, 1n + 0, 4
= 0, 05u n − 0, 05n + 0, 25
= 0, 5 (0, 1u n − 0, 1n + 0, 5)
= 0, 5v n
La suite (v n ) est donc géométrique de raison 0,5.
Le premier terme est :
v 0 = 0, 1 × 5 − 0, 1 × 0 + 0, 5 = 1.
On a donc pour tout entier naturel n, v n = v o × 0.5n = 1 × 0, 5n = 0, 5n =
1
.
2n
5. En déduire que, pour tout entier naturel n, u n = 10 × 0, 5n + n − 5.
On a :
v n = 0, 1u n − 0, 1n + 0, 5
⇐⇒ 0, 5n = 0, 1u n − 0, 1n + 0, 5
⇐⇒ 10 × 0, 5n = u n − n + 5
⇐⇒ un = 10 × 0, 5n + n − 5 .
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Exercice 3
(8.5 points)
On considère la suite (u n ) définie par
u 0 = 0 et, pour tout entier naturel n, u n+1 = u n + 2n + 2.
1. Calculer u 1 et u 2 .
u 1 = u 0 = 2 × 0 + 2 = 2 et u 2 = u 1 + 2 × 1 + 2 = 6.
2. On considère les deux algorithmes suivants :
Algorithme 1
Variables :
Entrée :
Traitement :
Sortie :
Algorithme 2
Variables :
n est un entier naturel
u est un réel
Saisir la valeur de n
u prend la valeur 0
Pour i allant de 1 à n :
u prend la valeur u + 2i + 2
Fin Pour
Afficher u
Entrée :
Traitement :
Sortie :
n est un entier naturel
u est un réel
Saisir la valeur de n
u prend la valeur 0
Pour i allant de 0 à n − 1 :
u prend la valeur u + 2i + 2
Fin Pour
Afficher u
De ces deux algorithmes, lequel permet d’afficher en sortie la valeur de u n , la valeur de l’entier naturel n étant entrée par l’utilisateur ?
Le second affiche en sortie la valeur de u n , la valeur de l’entier naturel n étant entrée par l’utilisateur.
3. A l’aide de l’algorithme, on a obtenu le tableau et le nuage de points ci-dessous où n figure en abscisse
et u n en ordonnée.
+
160
+
140
+
120
+
100
+
80
+
60
+
+
40
+
+
20
0
+
+
+
n un
0
0
1
2
2
6
3 12
4 20
5 30
6 42
7 56
8 72
9 90
10 110
11 132
12 156
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
(a) Quelle conjecture peut-on faire quant au sens de variation de la suite (u n ) ?
Démontrer cette conjecture.
La suite (u n ) semble être croissante.
Démonstration :
u n+1 − u n = u n + 2n + 2 − u n = 2n + 2.
Or 2n + 2 > 0 pour tout n naturel. Donc (u n ) est croissante.
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(b) La forme parabolique du nuage de points amène à conjecturer l’existence de trois réels a, b et c
tels que, pour tout entier naturel n, u n = an 2 + bn + c.
Dans le cadre de cette conjecture, trouver les valeurs de a, b et c à l’aide des informations fournies.
On a :




2
 a =1
 a +b = 2
 a +b = 2
 u0 = a × 0 + b × 0 + c = 0
2
u = a × 1 + b × 1 + c = 2 ⇐⇒ 4a + 2b = 6 ⇐⇒ 2a + b = 3 ⇐⇒ b = 1



 1
c =0
c =0
c =0
u 2 = a × 22 + b × 2 + c = 6
Ainsi pour tout entier naturel n, u n = n 2 + n .
4. On définit, pour tout entier naturel n, la suite (v n ) par : v n = u n+1 − u n .
(a) Exprimer v n en fonction de l’entier naturel n. Quelle est la nature de la suite (v n ) ?
On sait que pour tout entier naturel n, u n+1 − u n = 2n + 2.
Pour tout entier naturel n, on a v n = 2n + 2. On reconnait le terme général d’une suite arithmétique de raison r = 2 et de premier terme v 0 = 2.
n
X
(b) On définit, pour tout entier naturel n, S n =
vk = v0 + v1 + · · · + vn .
k=0
Démontrer que, pour tout entier naturel n, S n = (n + 1)(n + 2).
S n est la somme des (n+1) premiers termes de la suite arithmétique de raison 2 et de 1er terme 2
d’où :
(1er terme + dernier terme) × (nombre de termes)
Sn =
2
(2 + 2n + 2)(n + 1)
Sn =
2
(4 + 2n)(n + 1)
Sn =
2
S n = (n + 2)(n + 1)
(c) Démontrer que, pour tout entier naturel n, S n = u n+1 − u 0 , puis exprimer u n en fonction de n.
Sn = v0 + v1 + · · · + vn
S n = (u 1 − u 0 ) + (u 2 − u 1 ) + · · · + (u n − u n−1 ) + (u n+1 − u n )
S n = u n+1 − u 0
on a alors S n−1 = u n − u 0 ⇐⇒ u n = S n−1 + u 0
De plus pour tout entier naturel n, S n = (n + 1)(n + 2) = n(n + 1)
donc S n−1 = (n − 1 + 1)(n − 1 + 2)
D’où u n = n(n + 1) + u 0 = n(n + 1) = n 2 + n.
On retrouve l’expression de u n établie à la question 3.
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