Théorème (formule du binôme de Newton
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Théorème (formule du binôme de Newton
Théorème (formule du binôme de Newton) : Soit (a; b) ∈ R2 n ∈ N. et On a (a + b)n = n X n k k=0 ak bn−k . Démonstration : 1. initialisation : Pour n = 0, on a : (a + b)0 = 1 et 0 X 0 k=0 2. k ak bn−k = 0 0 0−0 a b = 1. 0 hérédité : On suppose que pour un rang n∈N quelconque, la formule est vraie. Montrons qu'alors elle est également vraie au rang (a + b)n+1 = n+1 X k=0 n + 1, ie que : n + 1 k n+1−k a b . k On a : (a + b)n+1 = (a + b)(a + b)n n X n k n−k = (a + b) a b (par hypothèse de récurrence) k k=0 n n X X n k n−k n k n−k =a a b +b a b k k k=0 k=0 X n n X n n k k n−k n−k = a×a b + a ×b×b k k k=0 k=0 X n n X n k+1 n−k n k n+1−k = a b + a b k k k=0 k=0 j = k + 1 dans la première somme, pour obtenir X n+1 n X n n k n+1−k j n−(j−1) = a b + a b j−1 k On pose ensuite (a + b)n+1 j=1 = k=0 n+1 X j=1 : n aj bn+1−j + j−1 n+1 X n X n k k n+1−k a b k=0 n X n n k n+1−k ak bn+1−k + a b (retour à l'indice k ) k−1 k k=1 k=0 n X n n = ak bn+1−k + an+1 bn+1−(n+1) k−1 n+1−1 k=1 n X n k n+1−k n 0 n+1−0 + a b + a b (on fait en sorte que les indices k 0 k=1 n n X X n n k n+1−k k n+1−k n+1 n+1 = a b +a +b + a b k−1 k k=1 k=1 X n n X n n k n+1−k k n+1−k n+1 =b + a b + a b + an+1 k−1 k k=1 k=1 n X n n k n+1−k n+1 =b + + a b + an+1 k−1 k k=1 n X n + 1 k n+1−k n+1 =b + a b + an+1 (triangle de Pascal) k k=1 n n + 1 0 n+1 X n + 1 k n+1−k n + 1 n+1 n+1−(n+1) a b + a b + a b = 0 k n+1 k=1 n+1 X n + 1 = ak bn+1−k k = k=0 3. conclusion : Donc, par récurrence sur n ∈ N, on a le résultat. soient les mêmes)