Correction Dm 3
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Correction Dm 3
[ Correction Dm 3 \ Exercice obligatoire 1. La fonction f est une fonction homographique, elle est dérivable sur son domaine de définition et pour tout réel x > −1 on a : 4(x + 1) − (4x − 2) × 1 (x + 1)2 f ′ (x) = ··· = 6 (x + 1)2 Comme un carré est toujours positif, f ′ (x) est toujours strictement positif donc ✞ ☎ ✝ ✆ f est strictement croissante sur ] − 1 ; +∞[ 2. Démontrons par récurrence que que pour tout entier n, un Ê 2 : Initialisation u0 = 3 donc u 0 Ê 2 La propriété est vraie au rang 0. Hérédité Supposons que la propriété soit vraie pour un certain entier naturel n fixé, c’est à dire que u n Ê 2 et sous cette hypothèse montrons qu’elle est aussi vraie pour l’entier naturel n + 1 : un Ê 2 d’après l’hypothèse de récurrence f (u n ) Ê f (2) u n+1 Ê 2 car f est croissante car f (2) = 2 La propriété se transmet d’un rang au suivant, elle est donc héréditaire. Autre méthode Pour prouver que u n+1 Ê 2 on peut calculer u n+1 − 2 et prouver que cette différence est positive : 4u n − 2 −2 un + 1 4u n − 2 − 2(u n + 1) = un + 1 2(u n − 2) = un + 1 u n+1 − 2 = Or on a supposé que u n Ê 2 donc u n − 2 et u n + 1 sont positifs donc u n+1 − 2 est positif. On en déduit que u n+1 Ê 2. Conclusion La propriété est vraie pour n = 0, elle est héréditaire donc d’après le principe de récurrence u n Ê 2 pour tout entier naturel n. 3. Pour tout entier naturel n, on a : 4u n − 2 − un un + 1 (4u n − 2) − u n (u n + 1) = un + 1 2 −u n + 3u n − 2 = un + 1 u n+1 − u n = Considérons le polynôme −X 2 + 3X − 2, il a pour discriminant ∆ = · · · = 1 et pour racines X 1 = · · · = 1 et X 2 = · · · = 2 Comme le coefficient de X 2 est négatif, le polynôme est négatif à l’extérieur de ses racines. En particulier, si X Ê 2 on a −X 2 + 3X − 2 É 0. Or pour tout entier n, u n Ê 2 donc −u n2 + 3u n − 2 É 0. De plus u n + 1 > 0. On peut donc en déduire que u n+1 − u n est négatif donc que ☎ ✞ ✝la suite est décroissante. ✆ Autre démonstration : On peut démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, u n+1 É u n . Exercice facultatif Suite arithmétique cachée On considère la suite u définie sur N∗ par u 1 = 1 et pour tout entier n : u n+1 = nu n + 4 n +1 On commence par calculer les premiers termes 2u 2 + 4 4u 3 + 4 3u 3 + 4 u5 = u4 = 1u 1 + 4 2+1 4+1 3+1 u2 = u1 = 1 5+4 13 + 4 9+4 1+1 u3 = u5 = u4 = 1 5 3 5 4 u1 = u2 = 1 9 13 17 2 u4 = u3 = = 3 u5 = 3 4 4 vn où (v n ) est une suite arithOn peut remarquer que sur ces premier termes, il semble que u n = n métique de premier terme v 1 = 1 et de raison 4. 1 + 4(n − 1) 4n − 3 = . On peut donc penser que u n = n n Démontrons cette égalité par récurrence : Initialisation 4×1−3 4×1−3 u1 = 1 et =1 donc u 1 = 1 1 L’égalité est vraie au rang 1. Hérédité Supposons que la propriété soit vraie pour un certain entier naturel n > 0, 4n − 3 4n + 1 et sous cette hypothèse montrons que u n+1 = c’est à dire que u n = n n +1 u3 = u n+1 = u n+1 = nu n + 4 n +1 n 4n−3 n +4 n +1 (4n − 3) + 4 u n+1 = n +1 4n + 1 u n+1 = n +1 d’après la définition de la suite d’après l’hypothèse de récurrence L’égalité est vraie au rang au suivant, elle est donc héréditaire. Conclusion L’égalité est vraie pour n = 1, elle est héréditaire donc d’après le principe de récurrence ✎ 4n − 3 un = n ✍ ☞ pour tout entier naturel n Ê 1. ✌