∑ n : ∑ ∑ k2 = ∑ ∑

Exercice 1
n
•
La propriété est :
∑
1
;2−
k2
1
, et n0 = 1.
n
k=1
•
Si n = 1, la somme vaut
1
1
= 1 et 2−
2
1
= 2−
n
1
1
= 1 donc la propriété est vraie et s’initialise au rang n = 1.
n
•
∑
Supposons la propriété vraie pour un certain rang n :
1
;2−
k2
1
n
.
k=1
n +1
Montrons qu’alors elle est encore vraie au rang n +1 :
∑
1
k2
; 2−
1
n +1
.
k =1
n +1
n
1
∑ ∑
k2
=
k =1
1
k2
+
1
( n +1)
2
; 2−
1
n
+
1
( n +1)
2
par hypothèse de récurrence.
k=1
Or 2−
1
n
+
2
1
( n +1)
et d’autre part 2−
2
= 2−
1
n +1
( n +1)
n ( n +1)
= 2−
n
1
( n +1)
n +1
Finalement,
∑
1
k2
2
; 2−
= 2−
n 2+ n +1
n ( n +1)
n +1
1
; 2− +
n
n ( n +1)2
n ( n +1)2
1
2
n
n ( n +1)
Mais n 2+ n +1 ? n 2+ n , donc
1
Ainsi 2− +
+
2
2
?
= 2−
( n +1) − n
n ( n +1)2
n 2+ n
n ( n +1)2
n 2+ n
n ( n +1)
2
= 2−
n 2+ n +1
n ( n +1)2
.
et −
n 2+ n +1
n ( n +1)
2
;−
n 2+ n
n ( n +1)2
.
.
1
( n +1)
2
; 2−
1
n +1
et la propriété est vraie au rang n +1.
k =1
Elle est donc héréditaire.
n +1
•
Finalement la propriété est vrai pour tout rang n ? 1 et donc
∑
1
k2
;2−
1
n
.
k =1
Exercice 2
1) a) u2 = 3 u1−2 u0 = 5
u3 = 3 u2−2 u1 = 9
u4 = 3 u3−2 u2 = 17
u5 = 3 u4−2 u3 = 33
u6 = 3 u5−2 u4 = 65
u7 = 3 u6−2 u5 = 129
b) u1− u0 = 1 et u2− u1 = 2 donc u1− u0 ≠ u2− u1 et la suite (un ) n’est pas arithmétique.
u1 3 u2 5
u1 u2
= et
= donc
≠
et la suite (un ) n’est pas géométrique.
u0 2 u1 3
u0 u1
2) a) vn +1 = un +2− un +1 = 3 un +1−2 un − un +1 = 2 un +1−2 un = 2(un +1− un ) = 2 vn donc la suite (vn ) est géométrique de
raison q = 2 et de premier terme v0 = u1− u0 = 1.
b) Sn = v0×
c)
1− q n
1− q
= 1×
1−2n
1−2
= 2n −1.
Sn = v0+ v1+ v2+…+ vn −2+ vn −1
= (u1− u0) + (u2− u1) + (u3− u2) + … + (un −1− un −2) + (un − un −1 )
On observe que quasiment tous les termes s’éliminent deux à deux : u1, u2… un −1.
Il reste : Sn = - u0+ un = un −2.
d) Sn = un −2 et Sn = 2n −1 donc un −2 = 2n −1 et ainsi un = 2n +1.
Exercice 3
Soit n le nombre de VHF.
D’après la proposition du chef, une personne doit prendre 1 appareil, puis une personne doit en prendre 2, et ainsi
de suite jusqu’à la n-ème personne (le plus gradé, donc … lui) qui doit en prendre n.
Ainsi d’après cette répartition il y a 1+2 + … + n appareils à se partager, c'est-à-dire
n ( n +1)
2
.
Mais l’autre proposition consiste à attribuer 6 appareils à chacun des n individus, et à en éliminer 13 qui ne
fonctionnent pas. Il y a donc 6 n +13 appareils.
Donc
n ( n +1)
2
2
= 6 n +13 , n ( n +1) = 12 n +26 , n 2−11 n −26 = 0.
∆ = (-11) −4×1×(-26) = 225 > 0 donc il y a deux racines n1 =
-(-11)− 225
2
= -2 et n2 =
-(-11)+ 225
2
Seule la racine positive convient puisqu’on cherche n ∈ N donc n = 13.
Finalement il y a 13 voleurs dans le gang des VHF et ils ont volé 1 + 2 + … + 13 =
13×14
2
= 91 appareils.
= 13.