EXERCICE 1 (3 points ) Commun à tous les candidats On considère

EXERCICE 1 (3 points )
Commun à tous les candidats
On considère la suite (un ) définie par
u0 = 1
pour tout entier naturel n.
un+1 = un + 2n + 3
1)
Etudier la monotonie de la suite (un ).
2)
a) Démontrer que, pour tout entier naturel n, un > n2 .
b) Quelle est la limite de la suite (un ) ?
3)
Conjecturer une expression de un en fonction de n, puis démontrer la propriété ainsi conjecturée.
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BACCALAUREAT GENERAL
Session 2004
MATHEMATIQUES
- Série S Enseignement Obligatoire
EXERCICE 1
1) Soit n un entier naturel. On a un+1 − un = 2n + 3 et en particulier un+1 − un > 0.
Ainsi, pour tout entier naturel n, un+1 > un et donc
la suite (un ) est une suite strictement croissante.
2) a) Montrons par récurrence que pour tout entier naturel n, on a un > n2 .
• On a déjà u0 = 1 et donc u0 > 02 . L’inégalité de l’énoncé est donc vraie quand n = 0.
• Soit n un entier naturel. Supposons que un > n2 . On a un+1 = un + 2n + 3 et donc par hypothèse de récurrence
un+1 > n2 +2n+3. Mais n2 +2n+3 > n2 +2n+1 ou encore n2 +2n+3 > (n+1)2 . On en déduit que un+1 > (n+1)2 .
On vient de montrer par récurrence que
pour tout entier naturel n, un > n2 .
b) Puisque
lim n2 = +∞ et que pour tout entier naturel n, on a un > n2 ,
n→ +∞
lim un = +∞.
n→ +∞
3) Donnons les premières valeurs de un dans un tableau.
n
0
1
2
3
4
5
un
1
4
9
16
25
36
Il semblerait que pour tout entier naturel n on ait un = (n + 1)2 . Montrons par récurrence que cette égalité est
effectivement vraie pour tout entier naturel n.
• On a déjà u0 = 1 = (0 + 1)2 et l’égalité est vraie quand n = 0.
• Soit n un entier naturel. Supposons que un = (n + 1)2 . Alors
un+1 = un + 2n + 3
= (n + 1)2 + 2n + 3
(par hypothèse de récurrence)
2
= n + 4n + 4
= (n + 2)2
2
= ((n + 1) + 1) .
On a montré par récurrence que
pour tout entier naturel n, un = (n + 1)2 .
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c Jean-Louis Rouget, 2007. Tous droits réservés.