Correction : Devoir à la maison 1 Exercice 1 : 1°) Montrer par

Correction : Devoir à la maison 1
Exercice 1 :
1°) Montrer par récurrence que, pour tout 1,
1 2 On posera
12 1
6
1 2 2°) En déduire la valeur de
2 1
On pourra calculer 2
Correction
1°) On appelle l’égalité ∑
1 2 Si 1,
∑
1 et
1 sont égaux donc est vraie.
1 2 1 11 2 1 12 1
1
6
1
1
2 1 6 1 2 7 6
6
6
Les racines de 2 7 6 0 sont "2 et " donc 2 7 6 2 2 # $ 22 3
Donc
1& 1 1'2 1 1
1
22 3 6
6
Donc entraine . L’égalité est vraie pour tout 1.
(
(
2°) On remarque que 2 1 2 1 2 D’autre part
2 1 3 2 " 1 2 4 2
2 1 4 1 4 2 4 41 2 12 1
12 1
2
6
3
(
4
On en déduit que : "2
1 " 2 1 Donc ∑
2 1 2 1 " 1 4
Exercice 2 :
Montrer que le produit de 4 entiers consécutifs augmenté de 1 est le carré d’un entier.
On pourra calculer 3 et 1 2.
Correction
3 3 et 1 2 3 2
4 entiers consécutifs s’écrivent 1 2 3
Donc
1 2 3 1 3 1 2 1 3 3 2 1
3 1 " 1 3 1 1 1 3 1 " 1 1 3 1
3 1 est un entier donc 1 2 3 1 est le carré d’un entier.
Exercice 3 :
Montrer que pour tout * +, - .1/, divise 1 " 1. On pourra utiliser la formule du binôme.
Correction
1 0 1
Donc 1 " 1 ∑
0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 0 0 Donc divise 1 " 1.
Exercice 4 :
Calculer ∑
0
Correction
0
!
!
" 1!
! " !
" 1! " !
" 1! & " 1 " " 1'!
On pose ′ " 1, si 1 alors ′ 0 et si alors ′ " 1
0
" 1!
" 1!
′
′
! & " 1 " '!
! & " 1 " '!
′
0
0
1 1 1 1
2
Autre correction sans utiliser les sommes
∑
0 1 0
2 0 3 0 " 10
0
!
!
!
!
!
1
2
3
" 1
" 1! 1!
" 2! 2!
" 3! 3!
" ! !
& " " 1'! " 1!
" 1!
" 1!
" 1!
" 1!
" 1! 0!
& " 1 " 1'! 1!
& " 1 " 2'! 2!
& " 1 " " 2'! " 2!
" 1!
& " 1 " " 1'! " 1!
" 1!
" 1!
" 1!
" 1!
2
" 1! 0! & " 1 " 1'! 1! & " 1 " 2'! 2!
& " 1 " " 2'! " 2!
" 1!
3
& " 1 " " 1'! " 1!
0
0
0
0
0
1 1
0
1
1
0
1 1
0
1 1
40
0
1 1
1 1
2
Exercice 5 :
Montrer que pour tout * +, , 11! 22! ! 1! " 1
Correction
On appelle l’égalité 11! 22! ! 1! " 1
Si 1 on a 11! 1 1! " 1 2! " 1 1, l’égalité est vérifiée.
11! 22! ! 1 1! 11! 22! ! 1 1!
1! " 1 1 1! 1! 1 1 " 1 2! " 1
Donc entraine , donc est vraie pour tout 5 0.
Exercice 6 :
On considère la fonction 6 (fonction d’Ackermann) de deux variables 7 et dans + définie par :
60, 1
(1)
67, 0 67 " 1,1
pour 7 1
(2)
67, 67 " 1, 67, " 1
pour 7 1 et 1
(3)
Montrer que :
1) 9 * +, 61, 2
2) 9 * +, 62, 2 3
3) 9 * +, 63, 2 " 3
Correction
1) On appelle l’égalité 61, 2
61,0 60,1 1 1 2 0 2
La première égalité vient de (2) et la seconde vient de (1)
On suppose que l’on a 61, 1 60, 2 2 1 3 1 2 donc entraine Donc est vraie pour tout .
2) On appelle : l’égalité 62, 2 3.
62,1 6&1, 6 2,0' 6&1, 61,1' 6 1,3 3 2 5 2 1 3
La première égalité vient de (3), la seconde de (2), la troisième du 1) et la quatrième du 1)
Donc : est vraie.
62, 1 6&1, 6 2, ' 6 1,2 3 2 5 2 1 3
La première égalité vient de (3), la seconde de l’hypothèse de récurrence et la troisième du 1).
:
Donc : entraine , l’égalité est vraie pour tout 1.
3) On appelle :: l’égalité 6 3, 2 " 3
63,1 6&2, 63,0' 6&2, 62,1' 62,5 2 5 3 13 16 " 3 2( " 3
La première égalité vient de (3), la seconde vient de (2), la troisième du 2), la quatrième du 1).
Donc :: est vraie.
63, 1 6&2, 63, ' 62,2 " 3 22 " 3 3 2( " 6 3 2
" 3
La première égalité vient de (3), la seconde de l’hypothèse de récurrence et la troisième du 2).
::
Donc :: entraine , l’égalité est vraie pour tout 1.