4 . Induction - Département Informatique

Ensembles ordonnés
• Un ensemble muni d’une relation d’ordre est un
ensemble ordonné.
4 . Induction
ex: (IN, ≤ ), (IN, < ), (IN, | ), (A*, <préfixe )
• Si l’ordre est total, l’ensemble est totalement
ordonné.
ex: (IN , ≤ ), (IN, < )
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Minimaux et maximaux
Soit (E, ≤) un ensemble ordonné.
• Un élément m est un élément minimal dans E s’il vérifie
" e Œ E, e ≤ m fi m = e
• Un élément min est le minimum ou plus petit élément de E s’il
vérifie
" e Œ E, min ≤ e
Remarque: on définit de façon symétrique les éléments maximaux et le maximum (ou
plus grand élément).
Exemple: 0 est un élément minimal de (IN ,≤ ), c’est également son minimum.
Il n’y a pas d’éléments maximaux, a fortiori, il n’y a pas de maximum.
Ordre bien fondé
• Un ordre ≤ sur un ensemble E est bien fondé s’il ne contient
pas de suite d’éléments infinie strictement décroissante.
Exemple: (IN, ≤ ), (A*, ≤préf )
Contre-exemple: Soit A un alphabet comportant au moins 2 lettres.
L’ordre ≤lex n’est pas bien fondé sur A*.
En effet, la suite de mots (aib)i≥0 est strictement décroissante.
Théorème
Un ensemble ordonné (E, ≤) est bien fondé si et
seulement si toute partie non vide de E admet au
moins un élément minimal.
(admis)
Considérons l’inclusion sur l’ensemble E des parties propres de {a,b,c}.
{a}, {b} et {c} sont des éléments minimaux de E mais il n’y a pas de minimum.
• Ces notions coïncident pour un ensemble totalement ordonné.
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• Un bon ordre sur un ensemble E est un ordre total bien fondé.
Exemple: Sur IN, ≤ est un bon ordre
Sur Z, ≤ n’est pas un bon ordre
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Récurrence
Raisonnement par induction
•
Un ensemble muni d’un bon ordre est dit inductif.
•
Pour prouver une propriété concernant les éléments d’un
ensemble inductif, on peut avoir recours à deux principes
d’induction.
•
•
Sur l’ensemble IN, le premier principe d’induction n’est
rien d’autre que le principe de récurrence.
1er principe d’induction sur IN
Théorème Considérons ( IN, ≤).
Soit P une propriété dépendant d’un élément n de IN.
• si P(0) est vraie
et
• si " n Œ IN
( P(n)
fi
P(n+1) )
alors, pour tout n ΠIN, on a P(n) vraie.
Preuve
On raisonne par l’absurde.
(i.e. on suppose les hypothèses du théorème vraies mais la conclusion fausse).
Soit X = { n ΠIN, P(n) est fausse }
En tant que partie non vide de IN, X a un plus petit élément n0.
n0 est différent de 0, car on a supposé P(0) vraie.
Comme 0 < n0 on sait que n0-1 est un entier positif ou nul.
P(n0-1) est vraie car n0-1 œ X.
Par hypothèse, P(n0-1) fi P(n0)
d’où P(n0) vraie : contradiction avec le fait que n0 Œ X.
Sur IN, le deuxième principe d’induction est celui de
récurrence généralisée.
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Preuve par récurrence
Interprétation géométrique
Soit à démontrer la propriété P(n) :
(n+1)2 =
•
•
S 0≤i≤n
(2i + 1)
pour n = 0, P(0) est vraie.
pour n donné : ((n+1)+1)2 = (n+1)2 + 2n + 3.
ÿ
si P(n) est vraie alors
(n+2)2
ÿ
Hypothèse
de
récurrence
=
(S
0≤i≤n
(2i + 1) ) + 2n + 3 =
S 0≤i≤n+1
(2i + 1)
si P(n) est fausse alors ( P(n) fi P(n+1) ) est trivialement vérifiée.
donc dans les 2 cas, " n ΠIN
( P(n)
fi
P(n+1))
Conclusion
•
P(0) est vraie
•
" n ΠIN
( P(n)
12
22
32
42
(2.0 + 1) + (2.1 + 1) + (2.2 + 1) + ( 2.3 + 1 )
fi
P(n+1) )
Donc, d’après le théorème :
pour tout n de IN,
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P(n) est vraie.
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Récurrence généralisée
Exemple
2ème principe d’induction sur IN
Théorème Considérons ( IN, ≤), on appelle < l’ordre strict correspondant.
Soit P une propriété dépendant d’un élément n de IN.
• si " n Œ IN
( (" k < n, P(k) )
fi
P(n)
)
alors, pour tout n ΠIN, on a P(n) vraie.
Remarque
Mais où est donc passé le cas de base ? A-t-on P(0) vraie ou pas ??
n = 0 : ( (" k < 0, P(k) ) fi P(0) )
0 est un élément minimal donc il n’existe pas de k<0.
La prémisse de l’implication (" k < 0, P(k) ) est trivialement vraie, donc sa
conclusion doit être vraie.
Là encore, il faut bien s’assurer que P(0) est vraie.
Démontrons que pour deux mots u,v de A*, si uv = vu alors u et v sont des
puissances d’un même mot. On note P(n) :
(|uv|=n et uv=vu ) fi ( $ w ΠA*, $ p,q ΠIN tels que u = wp et v = wq )
Récurrence généralisée sur la longueur n de uv
•
P(0) vraie ? oui : u = v =
•
hyp.réc.: supposons que P(k) soit vraie pour tout k<n :
(|uv|= k<n et uv=vu ) fi ( $ w ΠA* $ p,q ΠIN tels que u = wp et v = wq )
e
=
ep
=
eq
• prenons u et v de A* avec |uv| = n et tels que uv = vu.
Sans perte de généralité, on fixe |u| ≥ |v|.
v est alors préfixe de u donc u = vx.
uv = vu se réécrit vx.v = v.vx d’où xv = vx.
on applique l’hyp.réc. à x et v car xv=vx et k=|xv|<n. P(k) vraie :
$ w ΠA*, $ p,q ΠIN tels que x = wp et v = wq
or u = vx donc u = wqwp = wp+q : cqfd.
•
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Récursivité et induction
•
En informatique, on définit récursivement des ensembles.
C’est entre autres le cas de nombreuses structures de données.
exemples les expressions arithmétiques, les arbres, les listes,
les programmes syntaxiquement corrects …
•
Intuitivement, une définition inductive est la donnée
explicite de quelques éléments d’un ensemble infini et la
donnée d’un mécanisme pour construire tous les autres
éléments à partir de ceux déjà donnés.
•
Les éléments de départ constituent la base et on appelle
étape inductive le mécanisme.
•
Un ensemble défini inductivement est inductif.
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pour n’importe quels entiers p et q
Définition inductive d’un ensemble
Soit E un ensemble.
Une définition inductive d’un sous-ensemble X de E
consiste en la donnée :
• d’un sous-ensemble fini B de E
•
d’un ensemble fini K d’opérations
F: Ea(F) Æ E
où a(F) Œ IN est l’arité de F
X est alors défini comme étant le plus petit ensemble
vérifiant les assertions suivantes :
(B) B Õ X
(I)
" F ΠK, " x1, ... , xa(F) ΠX,
F (x1,..., xa(F)) ΠX.
Une définition inductive d’un ensemble X est dite non ambiguë dès
lors qu’il n’existe qu’une seule façon de construire chaque élément de X.
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Exemples
Principe d’induction
Sur IN :
(B) 0 ΠP
En toute généralité, on peut énoncer le 2ème principe d’induction sur
n’importe quel ensemble inductif :
(I) n ΠP fi n+2 ΠP
La plus petite partie P qui contient 0 et qui vérifie (I) est
l’ensemble des entiers naturels pairs.
Sur l’alphabet
(B)
Théorème
Soit ≤ un ordre bien fondé sur un ensemble E.
{ (, ) } :
On note < l’ordre strict correspondant.
e ΠD
(I) si x ΠD et y ΠD alors
Soit P une propriété dépendant d’un élément x de E.
( x ) ΠD
x y
ΠD
La plus petite partie D qui contient
Si la phrase suivante est vraie :
e et qui vérifie
(I) est
" x ΠE
( (" y < x
P(y) ) fi
P(x) )
alors, pour tout x ΠE, on a P( x) vraie.
l’ensemble des mots bien parenthésés appelé langage de Dyck.
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Preuve par induction
Exemple
On veut montrer que tout mot x du langage de Dyck a autant de parenthèses
Le principe d’induction permet de démontrer des propriétés sur des
ensembles définis inductivement.
C’est la généralisation de la récurrence (généralisée) sur IN.
Théorème Considérons X un ensemble défini inductivement.
Soit P une propriété de l’élément x de X.
Si les conditions suivantes sont vérifiées :
• " x Œ B, P(x) est vraie
ouvrantes que de fermantes, ou de façon équivalente la propriété P(x) :
g(x) = d(x)
Définition de D
(B)
ΠD
x y
•
g (e) = 0 = d (e)
•
g ( (x) ) = g ( x ) + 1
donc P(
•
g (x y ) = g ( x ) + g ( y )
d ( (x) ) = d ( x ) + 1
fi
P
( F(x1, ..., xa(F)) )
alors, pour tout x ΠX, on a P(x) vraie.
( x ) ΠD
ΠD
Démonstration de la propriété
• " F Œ K, " x1,…xa(F) Œ X,
( P( x1 ), ..., P( xa(F)) )
e
(I) si x ΠD et y ΠD alors
e
) vraie
donc P( x ) entraîne P( (x) )
d ( x y ) = d ( x ) + d ( y ) donc P( x ) et P( y ) entraînent P( x y )
+ on conclut que pour tout x ΠD, on a P(x) vraie.
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Définitions inductives de relations
On pourrait donner ici une définition formelle comme on
l’a fait pour les ensembles.
On se contentera d’exemples.
Définition inductive de la fonction factorielle
Sur IN :
(B) fact (0 ) = 1
(I) fact (n+1 ) = (n+1 ) x fact (n )
Définition inductive de l’ordre préfixe
Sur les mots de A*, A étant l’alphabet {a, b } :
(B)
e
≤
e, e
≤ a,
e
≤ b
(I) si u ≤ v alors u ≤ v a, u ≤ v b , a u ≤ a v et b u ≤ b v.
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