Devoir maison n 7

Classe de TS2
Pour le lundi 7 novembre 2011
Devoir maison n°7
Partie A
On considère la fonction g définie sur [0 ; +∞[ par
g(x) = ex − x − 1.
1. Étudier les variations de la fonction g.
La fonction g est dérivable sur [0; +∞[ car g est la somme de deux fonction dérivables.
Soit x > 0, g ′ (x) = ex − 1.
ex − 1 > 0 ⇐⇒ ex > 1 ⇐⇒ ex > e0 ⇐⇒ x > 0.
Conclusion : g ′ (x) > 0 sur [0 ; +∞[, donc la fonction g est croissante sur cet intervalle.
2. Déterminer le signe de g(x) suivant les valeurs de x.
On a g(0) = 1 − 0 − 1 = 0.
La fonction étant croissante sur [0 ; +∞[, on a, quel que soit x, g(x) > g(0), donc g(x) > 0.
3. En déduire que pour tout x de [0 ; +∞[, ex − x > 0.
On vient de démontrer que pour tout réel x ∈ [0 ; +∞[, g(x) > 0 ; ainsi ex − x − 1 > 0 et
donc ex − x > 1 > 0 d’où ex − x > 0.
Partie B
On considère la fonction f définie sur [0 ; 1] par
f (x) =
ex − 1
.
ex − x
La courbe (C) représentative de la fonction f dans le plan muni d’un repère orthonormal est
donnée en annexe.
On admet que f est strictement croissante sur [0 ; 1].
1. Montrer que pour tout x de [0 ; 1], f (x) ∈ [0 ; 1].
1−1
e−1
On a f (0) =
= 0 et f (1) =
= 1.
1
e−1
Comme la fonction f est croissante sur [0 ; 1], 0 6 x 6 1
implique f (0) 6 f (x) 6 f (1) et donc 0 6 f (x) 6 1.
2. Soit (D) la droite d’équation y = x.
a) Montrer que pour tout x de [0 ; 1], f (x) − x =
Soit x ∈ [0; 1],
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(1 − x)g(x)
.
ex − x
f (x) − x
=
=
=
=
=
ex − 1
−x
ex − x
ex − 1 − xex + x2
ex − x
x
e (1 − x) + x2 − 1
ex − x
(1 − x) (ex − x − 1)
ex − x
(1 − x)g(x)
ex − x
b) Étudier la position relative de la droite (D) et de la courbe (C) sur [0 ; 1].
La position relative de la droite (D) et de la courbe (C) sur [0 ; 1] est donnée par le signe
de la différence précédente : f (x) − x. Or on a vu sur [0 ; 1], g(x) > 0 et ex − x > 1 > 0.
Comme de plus 1 − x > 0, tous les termes du quotient sont positifs, donc f (x) − x > 0, ce
qui signifie que la courbe (C) est au dessus de la droite (D).
Partie C
On considère la suite (un ) définie par :
(
1
u0
=
2
un+1 = f (un ) ,
Montrer que pour tout entier naturel n,
Pour tout n ∈ N, on pose P(n) =≪
pour tout entier naturel n.
1
6 un 6 1.
2
1
6 un 6 1 ≫.
2
Initialisation : Prouvons que P(0) est vraie.
1
On a u0 = donc il est clair que P(0) est vraie.
2
Hérédité : supposons que pour un certain k > 0, P(k) est vraie i.e.
que P(k + 1) est vraie i.e.
1
6 uk+1 6 1.
2
1
6 uk 6 1 et prouvons
2
1
6 uk 6 1 et on sait d’après l’énoncé que f est strictement croissante sur [0; 1] donc
2
1
1
f ( ) 6 f (uk ) 6 f (1). Comme f (uk ) = uk+1 et f (1) = 1 on obtient f ( ) 6 uk+1 6 1. De plus
2
2
1
1
1
6 f ( ) (par lecture graphique ou par calcul) donc nous en déduisons la relation : 6 uk+1 6 1.
2
2
2
Donc par récurrence, pour tout entier naturel n, P(n) est vraie et donc pour tout entier naturel
1
n, 6 un 6 1.
2
On a
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