FICHE MÉTHODE :ÉTUDIER LE SIGNE D`UNE FONCTION 1

07/10/2005
M.WEISLINGER
Terminale ES 2
FICHE MÉTHODE :ÉTUDIER LE SIGNE D’UNE FONCTION
• L’OBJECTIF :
En Mathématiques, on est souvent amené à étudier le signe d’une expression. Cela peut se produire lors de l’étude des
variations d’une fonction(car le signe de la dérivée donne le sens de variation de la fonction). Cela peut également se
produire lors de l’étude de la position d’une courbe par rapport à une autre. Ou, tout simplement, pour établir certaines
inégalités.
Le problème de l’étude du signe, c’est que, suivant la nature de l’expression, la stratégie n’est pas toujours la même.
Tantôt, le signe est immédiat,tantôt on procède à une factorisation puis on dresse un tableau de signes, tantôt on peut
obtenir le signe en manipulant des inégalités. L’objectif de cette fiche méthode est de vous présenter ces différentes
stratégies possibles.
• LES BASES :
1. Si l’expression est une somme de plusieurs termes on ne peut conclure rapidement que si ceux-ci ont le
même signe :
– Par exemple le signe de f (x) = 5 + (x − 1)2 est immédiat car 5 > 0 et (x − 1)2 > 0 donc f (x) > 0 pour tout x .
4
– Pour le signe de f (x) = 1 − 2 on ne peut pas conclure rapidement il faut transformer l’écriture de f (x).
x
2. Dans les tous les autres cas pour étudier le signe d’une expression E(x) il faut en général suivre les étapes suivantes1 :
(a) Réduire E(x) au même dénominateur .
(b) Factoriser E(x) autant que nécessaire.
(c) Etudier le signe de chacun des facteurs (aussi bien au numérateur qu’au dénominateur).
(d) Faire figurer tous ces signes dans un tableau (Ne pas oublier les éventuelles valeurs interdites dans le tableau.)
(e) Indiquer le signe de E(x) dans la dernière ligne du tableau en appliquant les règles de signe d’un produit
ou d’un quotient.
(f) Conclure en énonçant le signe .
• UN EXEMPLE SIMPLE POUR COMPRENDRE :
4x + x2
− x2 définie pour tout x 6= -1.
x+1
x2 (x + 1)
4x + x2
−
Réduisons f (x) au même dénominateur : f (x) =
x+1
x+1
4x − x3
Simplifions : f (x) =
x+1
x(2 − x)(2 + x)
x(4 − x2 )
=
Factorisons : f (x) =
x+1
x+1
Dressons un tableau de signe :
x
−∞
−2
−1
0
x
−
|
−
|
−
0
+
2−x
+
|
+
|
+
|
+
2+x
−
0
+
|
+
|
+
x+1
−
|
−
0
+
|
+
f (x)
−
0
+
||
−
0
+
conclusion :
. f (x) > 0 pour tout x ∈ ] − 2; −1[∪]0; 2[
. f (x) < 0 pour tout x ∈ ] − ∞; −2[∪] − 1; 0[∪]2; +∞[.
. f (x) = 0 pour x ∈ {−2; 0; 2}.
Etudions le signe de f (x) =
2
|
0
|
|
0
+∞
+
−
+
+
−
justifications
2−x> 0 ⇔ x6 2
2 + x > 0 ⇔ x > −2
x + 1 > 0 ⇔ x > −1
• DES EXERCICES POUR S’ENTRAÎNER :
Exercice 1 :cas où le signe est immédiatement visible (ou presque !)
Soit f la fonction définie, sur R par : f (x) = (x2 − 7)3 .
Déterminer le sens de variation de la fonction f .
Exercice 2 :cas où l’on dresse un tableau de signe ( la méthode la plus courante en ES)
−2
2
Soit f la fonction définie par f (x) =
et g la fonction définie par g(x) =
.
2 − 2x
1 − 2x
1. Déterminer l’ensemble de définition de f puis celui de g.
2. Résoudre l’inequation :f (x) > g(x)
3. Interpréter ce résultat graphiquement.
Exercice 3 :cas où l’on peut manipuler directement des inégalités ou faire un tableau de signe
1
Soit g la fonction définie sur [1; +∞[ par g(x) = 1, 1x + .
x
Étudier les variations de g sur [1; +∞[ . (BAC ES 2001)
Exercice 4 :cas où l’on peut manipuler directement des inégalités
Soit h la fonction définie sur ]2; +∞[ par h(x) = 18 − 2(x + 1)2 .
Démontrer que g(x) < 0 pour tout x > 2.
1 En
fait le signe d’un produit ou d’un quotient est plus simple à étudier que celui d’une somme en général.
1