Position relative de deux courbes

Position relative de deux courbes
Soit Cf et Cg les courbes représentatives, dans un repère du plan, de deux fonctions f et g sur un intervalle
I.
Etudier la postition relative de deux courbes, c’est préciser laquelle est au dessous ou au dessus de l’autre,
et en quels points elles se croisent.
Pour étudier la position relative de Cf et Cg sur I, il suffit de comparer les fonctions f et g en étudiant le
signe de f (x) − g(x).
– si f (x) − g(x) > 0 pour tout x ∈ I, alors Cf est strictement au dessus de Cg sur I.
– si f (x) − g(x) < 0 pour tout x ∈ I, alors Cf est strictement au dessous de Cg sur I.
– les solutions de l’équation f (x) − g(x) = 0 sont les abscisses des points d’intersection des deux courbes.
Exemple : étudier la position relative des fonctions f et g telles que f (x) = x3 − 1 et g(x) = 4x2 − 1.
f (x) − g(x) = x3 − 1 − 4x2 + 1 = x3 − x2 = x2 (x − 1).
2
Etudions alors
le signe de cette différence : pour tout réel
 x, x ≥ 0 donc f (x) − g(x) est du signe de x − 1
 f (x) − g(x) > 0 ⇔ x > 1
 f (x) > g(x) ⇔ x > 1
f (x) − g(x) < 0 ⇔ x < 1 c’est à dire
f (x) < g(x) ⇔ x < 1 On peut donc en conclure
c’est à dire :


f (x) − g(x) = 0 ⇔ x = 1
f (x) = g(x) ⇔ x = 1
que la courbe de f est strictement au dessus de la courbe de g sur ]1; +∞[, strictement au-dessous sur
] − ∞; 1[ et les deux courbes se coupent au point d’abscisse 1.
Exercice 1
Soit f et g deux fonctions définies sur R par :
f (x) = x2 et g(x) = −3x + 4.
On appelle P et D les représentations graphiques respectives de f et g dans un repère.
1. Démontrer que, pour tout réel x, f (x) − g(x) = (x − 1)(x + 4).
2. Etudier le signe de f (x) − g(x).
3. En déduire la position de P par rapport à D.
4. Tracer P et D dans un même repère.
Exercice 2
P1 et P2 sont deux paraboles représentatives des fonctions, respectivement, f1 (x) = 2x2 +5x−1 et f2 (x) = −x2 − 7x − 1
Etudier la position relative de ces deux paraboles.
Penser à vérifier vos résultats à l’aide d’une calculatrice graphique.
Exercice 1 :
1. (x − 1)(x + 4) = x2 + 4x − x − 4 = x2 + 3x − 4 et f (x) − g(x) = x2 − (−3x + 4) = x2 + 3x − 4.
On a donc bien, pour tout réel x, f (x) − g(x) = (x − 1)(x + 4).
2. Pour étudier le signe de (x − 1)(x + 4), on va remplir un tableau de signes :
x
x−1
x+4
(x − 1)(x + 4)
−∞
−4
−
+
+
0
0
−
−
−
1
0
0
+∞
+
−
+
3. D’après le tableau de la question précédente :


 f (x) > g(x) ⇔ x ∈] − ∞; −4[∪]1; +∞[
 f (x) − g(x) > 0 ⇔ x ∈] − ∞; −4[∪]1; +∞[
f (x) < g(x) ⇔ x ∈] − 4; 1[
f (x) − g(x) < 0 ⇔ x ∈] − 4; 1[
c’est à dire


f (x) = g(x) ⇔ x = −4 ou x = 1
f (x) − g(x) = 0 ⇔ x = −4 ou x = 1
On en déduit donc que P est strictement au dessus de D sur ] − ∞; −4[∪]1; +∞[, strictement au
dessous sur ] − 4; 1[ et et que les deux courbes se coupent aux points d’abscisse −4 et 1.
4.
Exercice 2 :
Pour étudier la position relative de ces deux courbes, il faut tout d’abord étudier le signe de f1 (x) − f2 (x).
f1 (x) − f2 (x) = 2x2 + 5x − 1 − (−x2 − 7x − 1) = 3x2 + 12x = 3x(x + 4).
Dressons alors le tableau de signes de la quantité 3x(x + 4) :
x
3x
x+4
3x(x + 4)
−∞
−4
−
+
+
0
0
−
−
−
0
0
0
+∞
+
−
+
D’après le tableau de la question précédente :


 f1 (x) > f2 (x) ⇔ x ∈] − ∞; −4[∪]0; +∞[
 f1 (x) − f2 (x) > 0 ⇔ x ∈] − ∞; −4[∪]0; +∞[
f1 (x) < f2 (x) ⇔ x ∈] − 4; 0[
f1 (x) − f2 (x) < 0 ⇔ x ∈] − 4; 1[
c’est à dire


f1 (x) = f2 (x) ⇔ x = −4 ou x = 0
f1 (x) − f2 (x) = 0 ⇔ x = −4 ou x = 0
On en déduit donc que P1 est strictement au dessus de P2 sur ] − ∞; −4[∪]0; +∞[, strictement au dessous sur ] − 4; 0[ et et que les deux courbes se coupent aux points d’abscisse −4 et 0.