TS. Évaluation 1 - Correction 1 ( 4 points ) On considère la suite (un

♣
TS. Évaluation 1 - Correction
1 ( 4 points )
On considère la suite (u n ) définie par u 0 = 0 et, pour tout entier naturel n,
u n+1 = u n + 2n + 2.
1. Calculer u 1 et u 2 .
u 1 = u 0 + 2 × 0 + 2 = 2 et u 2 = u 1 + 2 × 1 + 2 = 6
2. On considère les deux algorithmes suivants :
Algorithme 1
Variables :
Entrée :
Traitement :
Sortie :
n est un entier naturel
u est un réel
Saisir la valeur de n
u prend la valeur 0
Pour i allant de 1 à n :
u prend la valeur u + 2i + 2
Fin Pour
Afficher u
Algorithme 2
Variables :
Entrée :
Traitement :
Sortie :
n est un entier naturel
u est un réel
Saisir la valeur de n
u prend la valeur 0
Pour i allant de 0 à n − 1 :
u prend la valeur u + 2i + 2
Fin Pour
Afficher u
De ces deux algorithmes, lequel permet d’afficher en sortie la valeur de u n , la valeur de l’entier naturel n étant entrée
par l’utilisateur ?
Le second affiche en sortie la valeur de u n , la valeur de l’entier naturel n étant entrée par l’utilisateur.
En effet, pour n = 1, le premier algorithme affiche une valeur erronée u 1 = 0 + 2 × 1 + 2 = 4.
3. À l’aide de l’algorithme, on a obtenu le tableau et le nuage de points ci-dessous où n figure en abscisse et u n en
ordonnée.
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
un
0
2
6
12
20
30
42
56
72
90
110
132
156
160
140
120
100
80
60
40
20
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
a. Quelle conjecture peut-on faire quant au sens de variation de la suite (u n ) ? Démontrer cette conjecture.
La suite (u n ) semble être croissante.
Démonstration :
u n+1 − u n = u n + 2n + 2 − u n = 2n + 2 nombre strictement positif, pour tout n ∈
N
b. La forme parabolique du nuage de points amène à conjecturer l’existence de trois réels a, b et c
tels que, pour tout entier naturel n, u n = an 2 + bn + c.
Dans le cadre de cette conjecture, trouver les valeurs de a, b et c à l’aide des informations fournies.




2
 u0 = a × 0 + b × 0 + c = 0
 a +b = 2
 a +b = 2
 a =1
u 1 = a × 12 + b × 1 + c = 2 ⇐⇒
4a + 2b = 6 ⇐⇒
2a + b = 3 ⇐⇒
b=1




u 2 = a × 22 + b × 2 + c = 6
c =0
c =0
c =0
4. On définit, pour tout entier naturel n, la suite (v n ) par :
v n = u n+1 − u n .
a. Exprimer v n en fonction de l’entier naturel n. Quelle est la nature de la suite (v n ) ?
v n = u n+1 − u n = 2n + 2
C’est une suite arithmétique de raison r = 2 et de premier terme v 0 = 2.
b. On définit, pour tout entier naturel n,
n
X
Sn =
vk = v0 + v1 + · · · + vn .
k=0
Démontrer que, pour tout entier naturel n,
S n = (n + 1)(n + 2).
S n est la somme des n + 1 premiers termes d’une suite arithmétique :
Sn =
n
X
v k = v 0 + v 1 + · · · + v n = (n + 1) ×
k=0
c. Démontrer que, pour tout entier naturel n,
v0 + vn
2 + 2n + 2
= (n + 1) ×
= (n + 1)(n + 2)
2
2
S n = u n+1 − u 0
puis exprimer u n en fonction de n.
) + (u n+1 − S n = (
u
u
u
u
u n−1
u
1 − u 0 ) + (
2 −
1 ) + · · · + (
n −
n ) = u n+1 − u 0
S n−1 = u n − u 0 ⇐⇒ u n = S n−1 + u 0 = n(n + 1) + 0 = n(n + 1)
2 ( 4 points )
naturel n,
1.
Soit la suite numérique (u n ) définie sur l’ensemble des entiers naturels
1
u n+1 = u n + 3 × 0, 5n .
5
N par u0 = 2
et, pour tout entier
15
× 0, 5n .
4
n
Soit P (n) la propriété : « u n > 15
4 ×0,5 ». Montrons par récurrence que P (n) est vraie pour tout entier naturel
n non nul.
17
15
1
= 3,4 donc u 1 >
× 0, 51 .
• Initialisation : on a u 1 = × 2 + 3 × 0, 50 =
5
5
4
15
La propriété est vraie pour n = 1. P (1) est vraie, avec
× 0,5 = 1,875.
4
15
• Hérédité : supposons qu’il existe n ∈ tel que : u n >
× 0,5n
je suppose la proposition vraie au rang n
4
un >
a. Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel n non nul on a
N
15
× 0,5n
4
3
>
× 0,5n
4
3
>
× 0,5n + 3 × 0,5n
4
15
>
× 0,5n
4
un >
Alors, en multipliant par
1
5
1
un
5
:
1
u n + 3 × 0,5n
5
puis, en ajoutant membre à membre 3 × 0,5n :
u n+1
Or, pour tout entier naturel n,
(HR)
c’est-à-dire :
0,5n > 0,5n+1 , on en déduit donc
finalement
et la propriété P (n) est donc héréditaire.
u n+1 >
15
× 0,5n+1
4
• Conclusion : la proposition est vraie pour n = 1 , elle est héréditaire
15
donc par récurrence on a, quel que soit n ∈ ∗ ,
un >
× 0, 5n
4
b. En déduire que, pour tout entier naturel n non nul, u n+1 − u n 6 0.
N
Pour tout entier naturel n non nul :
u n+1 − u n
1
u n + 3 × 0,5n − u n
5
4
= 3 × 0,5n − u n
5
µ
¶
4 15
n
=
× 0,5 − u n
5 4
=
D’après la question précédente, cela entraîne que
u n+1 − u n 6 0
alors la proposition est vraie au rang n + 1
c. Démontrer que la suite (u n ) est convergente.
D’après la question précédente la suite (u n ) est décroissante à partir d’un certain rang.
15
De plus, pour tout entier naturel n non nul, u n >
× 0,5n > 0, la suite est donc minorée.
4
On en déduit, d’après le théorème de convergence des suites monotones, que la suite (u n ) est convergente.
2. On se propose, dans cette question de déterminer la limite de la suite (u n ).
Soit (v n ) la suite définie sur
N par vn = un − 10 × 0, 5n .
1
a. Démontrer que la suite (v n ) est une suite géométrique de raison .
5
On précisera le premier terme de la suite (v n ).
Soit n ∈
N, alors :
v n+1
= u n+1 − 10 × 0,5n+1
1
=
u n + 3 × 0,5n − 10 × 0,5 × 0,5n
5
1
u n − 2 × 0,5n
=
5
¢
1¡
=
u n − 10 × 0,5n
5
1
vn .
=
5
1
La suite (v n ) est donc géométrique de raison . Son premier terme vaut v 0 = u 0 − 10 × 0,50 = 2 − 10 = −8.
5
µ ¶n
1
b. En déduire, que pour tout entier naturel n, u n = −8 ×
+ 10 × 0, 5n .
5
µ ¶n
1
La suite (v n ) étant géométrique, on a, pour tout entier naturel n : v n = −8
.
5
µ ¶n
¡ ¢n
1
On en déduit que −8 × 51 = u n − 10 × 0,5n ⇐⇒ u n = −8 ×
+ 10 × 0,5n
5
c. Déterminer la limite de la suite (u n )
µ ¶n
1
1
lim
= 0 car −1 < < 1
de même : lim 0,5n = 0 car −1 < 0,5 < 1
n→+∞ 5
n→+∞
5
On en déduit par somme sur les limites que
lim u n = 0
n→+∞
3. Compléter sur l’annexe 2, les lignes (1), (2) et (3) de l’algorithme, afin qu’il affiche la plus petite valeur de n telle que
u n 6 0, 01.
Algorithme
Entrée :
Initialisation :
Traitement :
Sortie :
3 ( 2 points )
n et u sont des nombres
n prend la valeur 0
u prend la valeur 2
Tant que u > 0,01
n prend la valeur n + 1
1
u prend la valeur u + 3 × 0,5n−1
5
Fin Tant que
Afficher n
(1)
(2)
(3)
QCM - Répondre au questionnaire de l’annexe 1, en cochant pour chaque question, la bonne réponse.
Des points négatifs pourront être affectés à de mauvaises réponses.
Annexe 1 - Ex 2.
À restituer avec votre copie
NOM :
Questions
Réponses
1. Parmi les formules suivantes, qui donnent u n en fonction de n,
laquelle décrit une suite arithmétique ?
3 un = n
r
un = n 2
un = u0 + r n
elle tend vers +∞
2. Si une suite numérique est croissante, alors :
elle ne peut pas tendre vers 0
3 elle peut tendre vers −1
r
elle est croissante
3 il existe un certain rang à partir duquel
r
3. Si une suite numérique tend vers +∞, alors :
tous les termes sont positifs
u n > 0 pour tout n ∈
4. On sait qu’une certaine suite géométrique tend vers −∞.
Dans ce cas :
N
3 sa raison est nécessairement strictement
r
supérieure à 1
sa raison est nécessairement négative
on ne peut rien dire sur sa raison
5. Le graphique ci-dessous représente le tracé en « escargot »
d’une suite géométrique :
sa raison q vérifie q > 1
y
3
3 sa raison q vérifie q < −1
r
2
1
v0
−3 −2 −1
−1
1
2
3 x
−2
sa raison q vérifie −1 6 q < 0
−3
On peut en déduire que :
6. On sait que (v n ) est géométrique et que tous ses termes sont
positifs. On sait aussi que v 7 = 5, 8 et que v 9 = 20, 938. Alors :
3 v 8 = 11, 02
r
la raison vaut q = 2
la suite v converge vers 0
7. Une suite u est dite convergente vers un réel ` lorsque :
il existe un rang N ∈
N
tel que
pour tout intervalle I centré en `, on a
pour tout n > N : u n ∈ I
quel que soit l’intervalle I centré en `,
u n ∈ I pour tout n ∈
3
r quel que soit l’intervalle I centré en `,
les termes de la suite u appartiennent à I
N
à partir d’un certain rang
8. Une suite dont tous les termes sont strictement positifs :
ne peut pas tendre vers 0
3 ne peut pas tendre vers −1
r
peut tendre vers −∞