Suites, raisonnement par récurrence, probabilités conditionnelles

TSVT2 - Contrôle n° 1 de mathématiques
Exercice 1
soit ( u n ) la suite définie par u 0 = 1 et pour tout entier n, u n +1 = 3 − 0,5 × u n
Montrer que la suite ( u n ) est bornée entre 1 et 3.
Exercice 2
x
6−x
et ( v n ) la suite définie par v 0 = 4 et pour tout entier n, v n +1 = f ( vn )
1) Etudier les variations de f sur [0; 5].
2) a) La courbe c représentative de la fonction f est donnée en annexe 1. Sur ce graphique, la droite Δ
d'équation y = x est aussi tracée. Utiliser c et Δ pour construire sur l'axe des abscisses les points A 0 , A1 ,
Soit f la fonction définie sur [0; 5] par f(x) =
A 2 et A3 d'abscisses respectives v 0 , v1 , v 2 et v3 .
Conjecturer alors le sens de variation de la suite ( v n ).
b) On admet que la suite ( v n ) est bornée entre 0 et 5.
Démontrer par récurrence la conjecture faite à la question précédente.
Exercice 3
Soit ( u n ) la suite définie par son premier terme u 0 = 5 et, pour tout entier naturel n, par
u +n −3
u n +1 = n
2
1) a) Calculer u1 , u 2 et u 3 .
b) A partir de ces résultats, peut-on affirmer que la suite ( u n ) est décroissante ? Justifier.
2) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 3, u n +1 > u n
Que peut-on en déduire en ce qui concerne la suite ( u n ) ?
un − n + 5
10
a) Montrer que la suite ( v n ) est géométrique et préciser sa raison et son premier terme.
3) Soit ( v n ) la suite définie pour tout entier naturel n par v n =
b) En déduire v n puis u n en fonction de n.
Exercice 4
On considère l'algorithme suivant qui permet de calculer le terme de rang n d'une suite ( u n ):
Variables
n, U et i sont des nombres
Traitement
Lire n
U prend la valeur 2
Pour i allant de 1 à n
Affecter à U la valeur
Afficher U
Fin pour
Fin
1) Donner la valeur de u 0 .
U+7
2) A l'aide de l'algorithme, calculer u1 et u 2 .
3) Donner la relation de récurrence liant u n +1 et u n .
4) a) Modifier l'algorithme pour qu'il n'affiche que u12 .
b) Modifier l'algorithme pour qu'il calcule et affiche la somme: S = u 0 + u1 + u 2 + …. u12 .
Exercice 5
Amateur de sudoku, Pierre s'entraîne sur un magazine.
40 % des grilles de sudoku qui y sont proposées sont de niveau facile, 30 % sont de niveau moyen et 30 %
sont de niveau difficile.
Pierre sait qu'il réussit les grilles de sudoku de niveau facile dans 95 % des cas, les grilles de niveau moyen
dans 60 % des cas et les grilles de niveau difficile dans 40 % des cas.
Une grille de sudoku lui est proposée de façon aléatoire.
On considère les événements suivants:
F: « la grille est de niveau facile »
M: « la grille est de niveau moyen »
D: « la grille est de niveau difficile »
R: « Pierre réussit la grille »
1) Traduire les données de l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré.
Pour les calculs suivants, la formule utilisée doit absolument être
écrite
2) a) Calculer la probabilité que la grille proposée soit difficile et que Pierre la réussisse.
b) Calculer la probabilité que la grille proposée soit facile et que Pierre ne la réussisse pas.
c) Calculer la probabilité que Pierre réussisse la grille proposée.
3) Sachant que Pierre n'a pas réussi la grille proposée, quelle est la probabilité que ce soit une grille de
niveau moyen ?
Exercice 6
Un laboratoire pharmaceutique veut commercialiser un nouveau test de dépistage d'une maladie rare.
On note p la proportion de personnes malades dans la population.
Les résultats des études attestent que:
▪ Si une personne est malade, le test est positif dans 99 % des cas.
▪ Si une personne n'est pas malade, le test est positif à 0,1 %.
Avant d'autoriser la commercialisation de ce test, l'Agence française de sécurité sanitaire des produits de
santé (AFSSAPS) souhaite connaître la « valeur prédictive positive » du test (VPP), c'est-à-dire la valeur
de la probabilité pour que, le test étant positif, la personne choisie soit réellement malade.
On choisit une personne au hasard dans la population.
On considère les événements suivants:
M: « la personne est malade »
P: « le test est positif »
1) En vous aidant d'un arbre pondéré, exprimer la VPP de ce test en fonction de p.
Question bonus:
2) Quelle devrait être la proportion p de personnes malades dans la population pour que la VPP de ce test
soit supérieure à 0,9 ?
Annexe 1
Δ
c
TSVT2 - Correction du contrôle
contrôle n° 1 de mathématiques
Exercice 1
Démontrons par récurrence la propriété P suivante:
Pour tout n ∈ V, 1 ≤ u n ≤ 3
● Initialisation: pour n = 0
u 0 = 1 et 1 ≤ 1 ≤ 3 donc la propriété P est vraie au rang 0
● Hérédité
On suppose que, pour un entier p, on a 1 ≤ u p ≤ 3
On a alors:
− 1,5 ≤ − 0,5 u p ≤ − 0,5
1,5 ≤ 3 − 0,5 u p ≤ 2,5
1 ≤ 1,5 ≤ u p +1 ≤ 2,5 ≤ 3
La propriété P est donc héréditaire
● Conclusion
La propriété P est vraie pour n = 0 et est héréditaire donc elle est vraie pour tout n ∈ V: On a bien prouvé
que, pour tout n ∈ V, ( u n ) est bornée entre 1 et 3.
Exercice 2
1) On pose:
u(x) = x
v(x) = 6 − x
u'(x) = 1
v'(x) = − 1
u
u ' v − uv '
f est de la forme
donc f ’ est de la forme
v
v2
1( 6 − x ) − x × ( −1) 6 − x + x
6
Par conséquent, f ’(x) =
=
=
2
2
2
(6 − x )
(6 − x ) (6 − x )
Pour tout x ∈ [ 0; 5], on sait que 6 > 0 et que (6 − x) 2 > 0: On en déduit donc que f ’(x) > 0 et que f est
croissante sur [0; 5].
2) a) Voir graphique page suivante
On peut conjecturer que la suite ( v n ) est décroissante sur V.
b) Montrons par récurrence la propriété P suivante:
● Initialisation: pour n = 0
v0 = 4
4
v1 = f ( v0 ) = f(4) =
=2
6−4
2 ≤ 4 donc on a bien v1 ≤ v 0
La propriété P est vraie pour n = 0
pour tout n ∈ V, v n +1 ≤ v n
● Hérédité
On suppose que, pour un entier p, on a v p +1 ≤ v p
On sait que v p +1 et v p appartiennent à l'intervalle [0; 5] et que la fonction f est croissante sur cet intervalle.
Par conséquent, en appliquant la fonction f à chaque membre de l'inégalité v p +1 ≤ v p , on obtient
f ( v p +1 ) ≤ f ( v p ) c'est-à-dire v p + 2 ≤ v p +1
La propriété P est donc héréditaire.
● Conclusion:
La propriété P est vraie pour n = 0 et est héréditaire donc elle est vraie pour tout n ∈ V: On a bien prouvé
que, pour tout n ∈ V, v n +1 ≤ v n c'est-à-dire que ( v n ) est croissante sur V.
Exercice 3
1) a) Pour calculer u1 , on remplace n par 0
u + 0−3 5+ 0−3
u1 = 0
=
=1
2
2
Pour calculer u 2 , on remplace n par 1
u +1− 3 1+1− 3
1
u2 = 1
=
=−
2
2
2
Pour calculer u 3 , on remplace n par 2
1
− −1
u +2−3
3
 1 2 1
u3 = 2
= 2
= − − × = −
2
2
4
 2 2 2
b) On constate que u 3 < u 2 < u1 < u 0 : Cela ne nous permet cependant pas d'affirmer que la suite ( u n ) est
décroissante puisqu'on ne sait pas ce qu'il se passe pour n ≥ 4.
2) Montrons par récurrence la propriété P suivante:
● Initialisation: pour n = 3
u + 3 − 3 u3
3
3 1
3
u3 = −
et u 4 = 3
=
=− × =−
4
2
2
4 2
8
pour n ≥ 3, on a u n +1 > u n
On a bien u 4 > u 3 donc la propriété P est vraie pour n = 3
● Hérédité:
On suppose que, pour un entier p ≥ 3, on a u p +1 > u p
u p+2 =
u p +1 + ( p + 1) − 3
2
On sait que u p +1 > u p et que p + 1 > p donc on en déduit que u p +1 + (p + 1) > u p + p
Par conséquent, on a:
u p +1 + (p + 1) − 3 > u p + p − 3
u p +1 + ( p + 1) − 3
2
u p + 2 > u p +1
La propriété P est héréditaire.
>
up + p − 3
2
● Conclusion:
La propriété P est vraie pour n = 3 et est héréditaire donc elle est vraie pour tout n ≥ 3: On a bien montré
que, pour tout n ≥ 3, on a u n +1 > u n : Cela signifie que la suite ( u n ) est croissante à partir de n = 3.
un + n − 3
un + n − 3
− n −1 + 5
−n+4
2
2
3) a) v n +1 =
=
=
10
10
10
u n + n − 3 2n 8 u n − n + 5
−
+
u − n + 5 1 1  un − n + 5  1
2
2 2=
2
v n +1 =
= n
× = 
 = × vn
10
10
2
10 2 
10
 2
u −0+5 5+5
1
On en déduit que ( v n ) est géométrique de raison q =
et de premier terme v 0 = 0
=
=1
2
10
10
u n +1 − ( n + 1) + 5
n
1
1
b) v n = v 0 × q = 1 ×   = n
2
2
n
On sait que v n =
un − n + 5
donc (en faisant le produit en croix), on a:
10
10 v n = u n − n + 5
u n = 10 v n + n − 5
10
un = n + n − 5
2
Exercice 4
1) u 0 = 2
u0 + 7 =
2) u1 =
u2 =
u1 + 7 = 10
3) u n +1 =
un + 7
9 =3
4) a)
Variables
n, U et i sont des nombres
Traitement
Lire n
U prend la valeur 2
Pour i allant de 1 à 12
Affecter à U la valeur
Fin pour
Afficher U
Fin
U+7
b)
Variables
n, U et i sont des nombres
Traitement
Lire n
U prend la valeur 2
S prend la valeur 2
Pour i allant de 1 à 12
Affecter à U la valeur U + 7
… Affecter à S la valeur S + U
Fin pour
Afficher S
Fin
Exercice 5
1)
F
0,95
0,05
R
R
0,4
Ω
M
0,3
0,6
0,4
R
R
0,3
D
0,4
0,6
R
R
2) a) p(D ∩ R) = p(D) × p D ( R ) = 0,3 × 0,4 = 0,12
La probabilité que la grille soit difficile et que Pierre la réussisse est égale à 0,12.
( )
b) p(F ∩ R ) = p(F) × p F R = 0,4 × 0,05 = 0,02
La probabilité que la grille soit facile et que Pierre ne la réussisse pas est égale à 0,02.
c) p(R) = p(F ∩ R) + p(M ∩ R) + p(D ∩ R) = p(F) × p F ( R ) + p(M) × p M ( R ) + 0,12
p(R) = 0,4 × 0,95 + 0,3 × 0,6 + 0,12 = 0,68
La probabilité que Pierre réussisse la grille est égale à 0,68.
3) p R ( M ) =
(
p M∩R
( )
p R
) = p ( M ) × p ( R ) = 0, 3 × 0, 4 = 0,12 = 3 = 0,375
M
1− p ( R )
1 − 0, 68
0, 32
8
La probabilité que la grille soit de niveau moyen sachant que Pierre ne l'a pas réussie est 0,375.
Exercice 6
1)
P
0,99
M
0,01
P
p
P
1-p
0,001
M
0,999
P
La VPP de ce test est égale à p P ( M ) =
p (M ∩ P)
p ( M ) × pM ( P )
=
p (P)
p ( M ) × pM ( P ) + p M × pM ( P )
( )
0,99p
0,99p
0,99p
=
=
0,99p + 0, 001(1 − p ) 0,99p + 0, 001 − 0, 001p 0,989p + 0, 001
Pour que l'expression soit plus jolie, on peut multiplier par 1000 le numérateur et le dénominateur.
990p
La VPP de ce test est donc égale à
989p + 1
pP ( M ) =
2) On résout l'inéquation:
990p
> 0,9
989p + 1
990p
− 0,9 > 0
989p + 1
0,9 ( 989p + 1)
990p
−
>0
989p + 1
989p + 1
990p − 890,1p − 0,9
>0
989p + 1
99, 9p − 0, 9
>0
989p + 1
989p + 1 est toujours positif car p est compris entre 0 et 1
Résoudre l'inéquation ci-dessus revient donc à résoudre l'inéquation:
p doit donc être supérieure à
99,9p − 0,9 > 0
0,9
p>
99, 9
1
p>
111
1
pour que la VPP de ce test soit supérieure à 0,9.
111