correction examen session principale janvier 2015

Correction d’examen : Algebre & Analyse
Session principale janvier 2015
Exercice 1 (2 points=1+1)
1) Pour f1 (x) = ln(1 − x2 ) , il faut que :
1 − x2 > 0
⇔ x ∈ ] − 1, 1[
Df = ] − 1, 1[
2) Pour f2 (x) = ln(|1 − x2 |) il faut que :|1 − x2 | > 0 ce qui est toujours vrai pour
x ∈ R\{−1, 1} finalement Df = R\{−1, 1}
Exercice 2 (6 points=2+2+2)
1)
1
(1 − x)
= 1 + x + x2 + x3 + ϵ(x3 )
f (x) =
2)
x
x2 x3
+
+
+ ϵ(x3 )
1!
2!
3!
2x (2x)2 (2x)3
= 1+
+
+
+ ϵ(x3 )
1!
2!
3!
4x3
+ ϵ(x3 )
= 1 + 2x + 2x2 +
3
comme e(x) = 1 +
alors e(2x)
ainsi e(2x)
3) ainsi
e2x
e2x+1
=
1−x
1−x
= e(2x) .
1
(1 − x)
4x3
= (1 + 2x + 2x +
+ ϵ(x3 )).(1 + x + x2 + x3 + ϵ(x3 ))
3
= On ne garde que les termes d’ordre inférieur ou égal à 3
4
= 1 + (2x + x) + (x2 + 2x2 + 2x.x) + (x3 + x3 + 2x.x2 + 2x2 )ϵ(x3 )
3
19
= 1 + 3x + 5x2 + x3 + ϵ(x3 )
3
2
Exercice 3 (6 points=2+2+2)
)
7
5
et I2 la matrice identité d’ordre
1) On considère la matrice A =
−6 −4
2 Un simple calcul donne A2 − 3A + 2I2 = 02 avec 02 etant la matrice nulle
d’ordre 2.
(
2) pour déduire l’inverse de Ade ce qui précède, il suffit d’écrire :
A2 − 3A + 2I2
A2 − 3A
A(A − 3I2 )
3
1
A( I2 − A)
2
2
d’où A−1
A−1
= 02
= −2I2
= −2I2
3
1
= I2 de plus ( I2 − A)A = I2
2
2
3
1
= = ( I2 − A)
2
2
1
= = ( (3I2 − A)
2(
) (
)
1
1 0
7
5
(3
−
=
0 1
−6 −4
2
(
)
1 −4 −5
=
7
2 6
3) Pour déterminer l’inverse de A par la méthode des cofacteurs, il faut calculer le
determinant de A puis la matrice des cofacteurs. det(A) = −4.7 + 6.5 = 2 ̸= 0
A est inversible et on a :
A
−1
(
)
1 t −4 6
=
−5 7
2
(
)
1 −4 −5
=
7
2 6
(
)
−2 − 52
=
7
3
2
On remarquera par exemple que cof (A1,1 ) = | − 4| = −4
Exercice 4 (6 points=2+2+2)
Soit
)
(
1 1
,
A=
0 1
(
I=
1 0
0 1
)
(
et B = A − I =
0 1
0 0
)
(
et O2 =
0 0
0 0
)
1) Il suffit de remarquer que B 2 = O2 avec O2 la matrice nulle d’ordre 2 donc
∀n ≥ 2, B n = O2
2) ∀A, B ∈ Mn (R) tels∑
que A.B=B.A (condition nécéssaire d’application) alors
p
k k (p−k)
p ∈ N, (A + B) = k=p
k=0 Cp A B
3) on a A = B + I comme la matrice identité I2 commute avec toute matrice de
M2 (R) (B.I=I.B) alors on a :
An = (B + I)n
= Cn0 I n B + Cn1 I n−1 B 1 + Cn2 I n−2 B 2 + . . .
|
{z
}
=O2
B = O2 , ∀k ≥ 2
= I + nB car { m
I = I, ∀m ≥ 1
(
)
(
)
1 0
0 1
=
+n
0 1
0 0
(
)
1 n
=
0 1
k