Programme de Mathématiques de la filière BCPST COMPARATIF (v6)

Programme de Mathématiques de la filière BCPST
COMPARATIF (v6)
Les compétences
Les nouveaux programmes de Mathématiques pour la filière BCPST précisent six grandes
compétences (communes à l’ensemble des nouveaux programmes de CPGE) qui structurent
l’activité mathématique des élèves ainsi que les enjeux des futures épreuves des concours. Ces
compétences sont les suivantes :
1. S’engager dans une recherche et mettre en œuvre des stratégies
2. Modéliser
3. Interpréter, représenter, changer de registre
4. Raisonner et argumenter
5. Calculer, manipuler des symboles et maitriser le formalisme mathématique
6. Communiquer à l’écrit et à l’oral
La modélisation
Les démarches de modélisation1, qui créent des liens avec les autres disciplines, sont
renforcées et parfois signalées au moyen d’un symbole spécifique ; sont particulièrement touchés
les chapitres sur les dérivées, équations différentielles, probabilités, statistique.
Outils logiciels, algorithmique et informatique
Le programme encourage toujours la démarche algorithmique et le recours à l'outil
informatique (calculatrices, logiciels), mais dans un but de clarification la partie relevant de
l’informatique (essentiellement la programmation des algorithmes) a été traitée comme un lien
interdisciplinaire. Les outils logiciels et de programmation voient leur pertinence renforcée par la
réforme du concours A (l’épreuve orale fournira de tels outils aux candidats).
Contenu
La nouveauté la plus évidente concerne les semestres qui sont maintenant bien délimités en
première année (cette répartition devant être respectée) ; l’organisation au sein des semestres relève
de la liberté pédagogique de l’enseignant. Pour la seconde année (BCPST2) le projet de programme
ne mentionne pas les semestres.
Le nouveau programme a été rédigé dans un souci de précision et détaille plus certains
chapitres, comme par exemple en première année la mise au point des outils et bases de calcul et en
deuxième année les chapitres de probabilité.
Par ailleurs, l'ordre dans lequel les notions sont introduites a été repensé. En première année,
une première période fixe les bases de calcul en analyse, algèbre, géométrie et statistique, avant une
deuxième période plus théorique. En deuxième année, les séries et les intégrales généralisées ont été
intégrées aux chapitres de probabilité, comme des outils ; au cours de cette deuxième année,
alternent des chapitres d'algèbre et de probabilité, avec des révisions de première année.
1
Elles étaient mentionnées dans les anciens programme sous l’intitulé « applications en relation avec … », notion
peu claire qui méritait d’être redéfinie.
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I. Ce qui n'est plus au programme:
1.
Algèbre:
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2.
Composition de deux polynômes.
Formule de Taylor pour les polynômes.
Forme générale des solutions d'un système linéaire (solution particulière + solution générale
du système homogène).
La terminologie « système de Cramer ».
Ne sont plus à connaître comme espaces vectoriels : l'ensemble des variables aléatoires
définies sur un même espace de probabilité, l'ensemble des suites réelles ou complexes,
l'ensemble des applications linéaires d'un espace dans un autre.
Somme de deux sous-espaces vectoriels.
Somme directe de deux sous-espaces vectoriels.
Projection sur un sous-espace vectoriel parallèlement à un autre.
Toute matrice carrée à coefficients complexes possède au moins une valeur propre.
Analyse:
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3.
Négligeabilité, l'utilisation de la notation f =o (g ) (désormais limitée aux DL).
Les fonctions arcsinus et arccosinus. (il reste arctangente).
Dérivée d'une fonction à valeurs complexes, ou à valeur dans R 2 ou R 3 .
Théorème de la limite de la dérivée.
La courbe représentative d'une fonction à dérivée croissante est au-dessus de chacune de ses
tangente. (aucune notion de convexité).
Formule de Taylor-Lagrange.
Formule de Leibniz.
Les courbes paramétrées.
Intégrale d'une fonction à valeurs complexes.
Intégration des fractions rationnelles (aucune méthode ni formule n'est à connaître).
Coefficients de Fourier d'une fonction.
Reste d'une série convergente.
Probabilités:
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4.
Image réciproque d'une partie.
On ne parle plus « d'arrangements », mais de p-listes sans répétition, et on n'introduit pas de
symbole pour ce nombre d'arrangements.
La formule du crible (de Poincaré), donnant la probabilité de la réunion de n événements.
Couples à densité; on garde cependant le produit de convolution donnant une densité de la
somme de deux variables indépendantes à densité chacune.
Coefficient de corrélation.
Application du théorème central limite à la loi de Poisson.
Utilisation des tables de la loi normale.
Géométrie:
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Angle de deux vecteurs du plan ou de l'espace. Angle orienté de deux vecteurs du plan.
Angle de deux droites dans le plan. Angle de deux plans dans l'espace.
Expression de la distance d'un point à une droite dans le plan. Expression de la distance d'un
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5.
point à un plan dans l'espace.
Les sphères.
Produit vectoriel.
Fonctions de plusieurs variables:
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Détermination d'une fonction dont les dérivées partielles premières sont connues.
Formes différentielles.
Intégrales doubles.
II. Ce qui est nouveau dans le programme:
1.
Algèbre:
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2.
On limite la décomposition des polynômes sur C (on ne fait plus sur R).
Inversibilité d'une matrice carré 2x2 et expression de la matrice inverse lorsqu'elle existe.
Application à l'expression de la résolution d'un système linaire 2x2.
Utilisation des déterminants 2x2 comme notation, mais les déterminants restent hors
programme.
Interprétation d'une matrice comme application linéaire de Kp dans Kn, noyau et image d'une
matrice.
Pour montrer qu'une matrice est inversible, il suffit de lui trouver un inverse à gauche ou à
droite.
Analyse:
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3.
On limite la définition des développements limités en 0.
Exemples d'approximations numériques des fonctions dérivées.
On limite la formule donnant les sommes de Riemann à [0,1] (et non plus sur [a , b]
quelconque).
Sauf dans des cas simples, intégration par parties et changement de variables dans une
intégrale devront être indiqués.
Exemples de résolution d'équations différentielles incomplètes (ou autonomes) du type
y ' =F ( y( t)) (sur trois exemples typiques d’origine historique et utiles en biologie des
populations : modèles de Malthus, Verhuslt, Gompertz) ; aucune théorie générale ne doit
être faite.
Pour la résolution de y ' ' +a y ' +b y= f (t ) , aucune méthode n'est à connaître pour la
recherche d'une solution particulière, la forme de cette solution sera donnée.
Les recollements de solutions ne sont pas un attendu du programme.
Probabilités:
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Les séries géométriques à connaître sont les séries de terme général q n , n qn−1 et
n
2 n
n (n−1) q n−2 (et non plus nq et n q ).
1
1
Convergence de la série de terme général 2 et divergence de la série de terme général
n
n
(les autres séries de Riemann restent hors programme).
Pour les séries doubles à termes positifs, théorème de Fubini.
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4.
Pour les intégrales généralisées, on donne les résultats directs pour l'intégration par partie et
les changements de variables.
La définition d'une tribu est donnée, mais aucun développement ne sera fait sur cette notion.
La loi normale est de paramètres μ et σ 2 (et non plus μ et σ).
Fonction des quantiles de la loi normale centrée-réduite.
Une seule loi géométrique: rang d'apparition du premier succès, à valeur dans N∗ .
On se limite à la variance d'une somme de n variables indépendantes (et non plus
quelconques).
Inégalité de Markov.
Pour les couples de variables aléatoires discrètes, le programme se limite aux situations
faisant intervenir des couples à valeurs positives et des séries doubles à termes positifs.
Géométrie:
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5.
Condition de colinéarité de deux vecteurs du plan (déterminant 2x2).
Barycentre dans le plan et dans l'espace.
Produit scalaire dans R n , théorème de Pythagore, bases orthonormales de R n .
Toute matrice carré symétrique réelle est diagonalisable dans une base orthonormale.
Projection orthogonale dans R n , distance d'un vecteur (ou point) à un sous-espace de R n .
Fonctions de deux variables:
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6.
On limite l'étude des fonctions de plusieurs variables à deux variables.
Dérivées partielles d'une fonction composée de fonctions de classe C 1 : uniquement une
expression de la forme f (x (t ) , y(t)) .
Statistiques:
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Statistique descriptive univariée.
Statistique descriptive bivariée, ajustement affine.
Estimation par intervalle d'une moyenne.
Test de conformité sur une moyenne.
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