CONCOURS Avenir+ L1, SUP

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L1
Programme de l’épreuve de
Mathématiques
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CONCOURS Avenir+
1. Analyse
▪ Nombres réels
a. Propriétés de 3.
b. Intervalles, valeur absolue, inégalité triangulaire.
c. Bornes supérieures et inférieures.
d. Congruences, partie entière.
▪ Suites réelles
a. Suites de nombres réels, limite d’une suite, comparaison.
b. Extension aux suites complexes.
c. Suites récurrentes.
▪ Fonctions réelles, continuité
a. Fonctions réelles, fonctions bornées, monotonie, parité, périodicité, limite, comparaison de fonctions.
b. Continuité d’une fonction réelle : Continuité ponctuelle, continuité sur un intervalle, continuité uniforme,
continuité par morceaux.
c. Fonctions en escalier, approximation de fonctions.
▪ Dérivation de fonctions réelles
a. Dérivation des fonctions réelles.
b. Accroissements finis.
c. Dérivées successives : formules de Leibnitz,
formule de Taylor-Lagrange.
▪ Fonctions usuelles
a. Fonctions circulaires.
b. Fonctions circulaires réciproques.
c. Fonctions hyperboliques.
d. Fonctions hyperboliques réciproques.
▪ Développements limités et étude locale de fonctions
a. Comparaison au voisinage d’un point.
b. Développements limités en un point x0∈ 3.
c. Développements limités et fonctions équivalentes.
d. Continuité, dérivabilité et développements limités,
Taylor-Young.
e. Développements limités en +∞ .
f. Développements limités des fonctions usuelles.
g. Représentation graphique d’une fonction :
équation de la tangente, position de la tangente,
recherche d’asymptotes.
▪ Intégration de fonctions réelles
a. Intégration par morceaux : intégration d’une fonction en escalier, intégration d’une fonction continue par
morceaux.
b. Intégrale d’une fonction continue : primitive d’une fonction continue, intégrale de fonctions positives, inégalités
de Cauchy-Schwartz, somme de Riemann, interprétation géométrique de l’intégrale.
c. Techniques d’intégration.
▪ Équations différentielles
a. Notions d’équations différentielles.
b. Équations différentielles linéaires d’ordre 1 : forme générale, solutions particulières usuelles, superposition de
solutions particulières, méthode de la variation de la constante. Équations de Bernoulli, équations de Riccati.
c. Équations différentielles linéaires d’ordre 2 : solutions générales de l’équation homogène dans le cas réel et
dans le cas complexe, solutions particulières usuelles, méthode de la variation de la constante.
d. Équations différentielles non linéaires à variables séparables.
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Programme de l’épreuve de
Mathématiques
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CONCOURS Avenir+
2. Algèbre
▪ Logique, ensembles, relations binaires et applications
a. Logique élémentaire: calcul des propositions,
quantificateurs, types de raisonnement.
b. Ensembles : Opérations sur les ensembles.
c. Relations d'ordre et d'équivalence. Ensembles quotients.
d. Applications : notations usuelles, image directe
ou réciproque d’un sous-ensemble.
e. Loi de composition interne.
▪ Entiers naturels, ensembles finis, dénombrements
Nombres naturels. Ensembles finis et infinis. Dénombrement. Démonstration par récurrence.
▪ Groupes et anneaux
Structures algébriques : Groupes. Anneaux. Corps. Idéaux. Algèbres.
▪ Arithmétique dans 9
a. Les entiers relatifs : Divisibilité en 9. Les ensembles n9. Étude de 9/n9.
b. PGCD et PPCM de deux entiers : théorème de Bézout, théorème
de Gauss, théorème d’Euclide.
c. Extension au cas de plusieurs
variables.
d. Nombres premiers.
▪ Fonctions polynomiales
a. Polynômes.
b. Division de polynômes.
c. Racines de polynômes, théorème d’Alembert, polynômes irréductibles.
d. Fractions rationnelles, décomposition en éléments simples.
▪ Espaces vectoriels, applications linéaires et dimension finie
a. Espaces vectoriels sur un corps K, K=3 ou K=ℂ , sous-espaces vectoriels, applications linéaires, image et noyau,
somme de sous-espaces vectoriels.
b. Espaces vectoriels de dimension finie : familles libres, familles libres et application linéaire, familles
génératrices, familles génératrices et application linéaire, bases et espaces vectoriels de dimension finie, théorème
de la base incomplète.
c. Théorème du rang.
▪ Calculs matriciels et systèmes linéaires
a. Notions de matrices : généralités, matrice d’une application linéaire, opérations sur les matrices, transposition
d’une matrice.
b. Matrices carrées : matrices carrées remarquables, matrice d’une application nilpotente.
c. Changement de base : matrice de passage, changement de matrice d’une application linéaire.
d. Opérations élémentaires : rang d’une matrice, opérations sur les lignes et les colonnes d’une matrice,
application au calcul du rang d’une matrice, application au calcul de l’inverse d’une matrice carrée.
e. Système d’équations linéaires : interprétation matricielle, structure de l’ensemble des solutions, système de
Cramer, méthode du pivot de Gauss.
▪ Applications multilinéaires, déterminants
a. Groupe symétrique Sn : permutation d’un ensemble fini, transposition, permutations circulaires, cycles.
b. Générateurs de Sn, signature d’une permutation.
c. Applications multilinéaires alternées : applications n-linéaires, applications n-linéaires alternées.
d. Déterminant et propriétés générales : déterminant d’une famille de vecteurs, déterminant d’un endomorphisme,
déterminant d’une matrice, déterminants de matrices diagonales, de matrices diagonales par bloc, déterminant de
Van Der Monde.
e. Calculs des déterminants : propriétés calculatoires, développement du déterminant.
f. Application des déterminants : caractérisation des bases, caractérisation de l’inversibilité d’une matrice, rang
d’une matrice.
1. Thermodynamique
▪ Outils mathématiques
▪ Gaz Parfait et fluide réel
▪ Grandeurs thermodynamiques
▪ Travail et chaleur
▪ Premier principe
▪ Deuxième principe
▪ Machines thermiques
▪ Changement d'état du corps pur
2. Optique
▪ Généralités
▪ Optique géométrique
▪ Stigmatisme
▪ Miroirs sphériques
▪ Lentilles minces
▪ Lumière - Onde EM
3. Mécanique du point
▪ Position, vitesse et accélération
▪ Changement de repère
▪ Principe fondamental de la dynamique
▪ Energie
▪ Moment cinétique
▪ Force centrale
▪ Oscillateur 1D
▪ Système de 2 points
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Programme de l’épreuve de
Physique
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CONCOURS Avenir+
1. Représentation de données en machine
▪ Conversion entre base
▪ Opérations élémentaires (addition, soustraction, multiplication, division)
▪ Entier positif et négatif (complément à 2)
▪ Nombre flottant (norme IEEE 754)
2. Algorithmique fonctionnelle et procédurale
▪ Variable, fonctions, procédures
▪ Structures de contrôle : conditionnelle, itérative et récursive
▪ Structures de données : tableau, liste
▪ Notions de complexité
▪ Pseudo-code
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Programme de l’épreuve
d’Informatique
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CONCOURS Avenir+