Analyse Numérique Médian 2014/2015 1 Tetris (10 points) 2 Plus

Analyse Numérique
Médian 2014/2015
3ème année
G. Gasso
– Durée : 1h30
– Documents autorisés : formulaires et calculatrice
– La copie du voisin n’est pas un document autorisé
1
Tetris
(10 points)


1 −1 0
Soit la matrice A = −1 2 −1 .
0 −1 2
1. Calculer la factorisation de Cholesky de A.
>
2. En déduire la solution du problème Az = b avec b = 1 0 −2 .


0 0 1
>
3. Soient la matrice B = 1 0 0 et le vecteur d = 0 1 −2 1 −1 −1 1 0 −2 .
0 1 0


A B 0
On cherche à résoudre Cx = d avec C =  0 A B > 
0 0 A
(a) Préciser les dimensions de la matrice C et du vecteur x.
(b) Montrer que B est une matrice de permutation. Quelles permutations réalise-t-elle ?
(c) Calculer la solution x du système d’équations.
Indication : partitionner les vecteurs x et d en 3 sous-vecteurs de taille compatible avec la
structure de C.
4. On va généraliser le principe de résolution. Soient A ∈ Rn×n une matrice définie positive,
B ∈ Rn×n une matrice carrée quelconque et d ∈ R3n un vecteur.
Ecrire un programme efficace x ← Bloc(A, B, d) pour résoudre le système Cx = d avec
C définie précédemment. Quelle est la complexité de ce programme ?
2
Plus simple la vie
(7 points)
Soit A ∈ Rn×n la matrice creuse (comportant plusieurs zéros) donnée par A = B +en v > +we>
n
>
où v, w, en sont des vecteurs de Rn avec en = 0 0 · · · 0 1 et B ∈ Rn×n est une
matrice bidiagonale supérieure c’est-à-dire Bij = 0 ∀ j > i + 1 et ∀ j ≤ i − 1,


2 −4 0 0 0
0 1 2 0 0


 , v = −1 1 3 4 1 > , w = −6 3 −2 2 1 > .
0
0
5
4
0
1. On considère B = 


0 0 0 1 3
0 0 0 0 2
Déterminer alors la matrice A correspondante.
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ASI3
Médian Analyse Numérique
2014/2015
>
2. Calculer la matrice de Gauss M1 telle que la première colonne de A1 = M1 A soit × 0 0 0 0 .
3. Donner la matrice A1 et vérifier que la structure creuse est préservée. Combien d’opérations
arithmétiques sont nécessaires pour calculer A1 ?
4. Calculer la matrice de Gauss M2 et donner A2 = M2 A1 . Combien d’opérations ont été
nécessaires ?
5. Proposer alors un algorithme A ← lu_creux(A) de complexité O(n) permettant de calculer la factorisation A = LU (sans pivot) de la matrice A ∈ Rn×n

× × 0
0 × ×


0 0 ×

A=. . .
..
 .. ..


0 0 0
× × ×
0 ···
0 ···
..
..
.
.
×
0
×
×
..
.
···

×
×


×

.
×


×
×
Les coefficients de L seront stockés dans la matrice A.
3
Palu transposé (3 points)
Soit la matrice A ∈ Rn×n admettant la factorisaton P A = LU . La matrice de permutation
vérifie la propriété P > P = I.
1. Montrer que A = P > LU .
2. On connait P A = LU . Proposer une façon de résoudre le système A> x = b avec x, b ∈ Rn .
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