Analyse Numérique Médian 2011/2012 1 Petit Lu ne passe pas (7

Analyse Numérique
Médian 2011/2012
3ème année
G. Gasso et S. Canu
– Durée : 1h30
– Documents autorisés : formulaires et calculatrice
– La copie du voisin n’est pas un document autorisé
1
Petit Lu ne passe pas
(7 points)


1 1 1
Soit la matrice A = 2 2 5.
4 6 8
1. Vérifier que la factorisation LU de A ne peut pas être exécutée jusqu’au bout.
2. Trouver la factorisation P A = LU de A.
>
3. Utiliser cette factorisation pour résoudre le système linéaire Ax = b avec b = 0 3 4 .
2
Inverser par LU divine
(6 points)
Soient les matrices A, B et X de IRn×n . On partitionne B et X de la façon suivante
B = b1 b2 · · ·
bk · · ·
bn ,
X = x1 x2 · · ·
xk · · ·
xn
avec xk et bk (k = 1, · · · , n) des vecteurs de IRn .
On cherche à déterminer la matrice X inconnue solution de l’équation linéaire AX = B.
1. Montrer que la résolution de AX = B revient à résoudre n équations linéaires de la forme
Axk = bk
∀k = 1, · · · , n
2. Proposer un programme efficace pour calculer X.
3. On suppose A régulière et on cherche à calculer son inverse A−1 en utilisant le formalisme
AX = B. Que représentent X et B dans ce cas ?
3
Cholesky Supérieur
(7 points)
On considère A, une matrice carrée définie positive de dimension n. On cherche sa factorisation
de Cholesky sous la forme A = U U > avec U une matrice triangulaire supérieure.
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ASI3
Médian Analyse Numérique
2011/2012
1. On note w la k ième colonne de la matrice U > . Montrer que w a la forme suivante


0


..


.




0



U
(k,
k)
w=


U (k, k + 1)




..


.
U (k, n)
2. Pour réaliser la factoration U U > , on suppose qu’à l’itération k, on connait les colonnes
k + 1 à n de U c’est-à-dire U (:, k + 1 : n) est connu. On cherche à calculer la k ième colonne
de U . Noter que U (k +1 : n, k) = 0 car U est triangulaire supérieure et il reste à déterminer
U (1 : k, k).
Montrer que U w = A(:, k). En déduire alors
A(1 : k, k) =
n
X
U (k, j)U (1 : k, j)
j=k
et une façon d’obtenir U (1 : k, k).
3. En utilisant le style vu en cours, proposer alors une fonction U ← CholeskySuperieur(A)
donnant la factorisation U U > de A.
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