EPFL Section: PH Prof. John H. Maddocks ANALYSE III Série 1 23

EPFL
Prof. John H. Maddocks
Section: PH
ANALYSE III
Série 1
23 Septembre 2016
1. Rappel: Changement de variables pour des espaces à une et à N dimensions
Soit φ ∈ C 1 IRN , IRN et v, u ∈ IRN avec v = φ(u). La règle du changement de
variables en N dimensions est
Z
Z
f (v) dv =
f (φ(u))|J(u)| du,
φ−1 (Ωv )
Ωv
où |J(u)| dénote la valeur absolue du déterminant de la matrice jacobienne. On
rappelle que la matrice jacobienne J(u) est donnée par les coefficients Jij (u) =
∂φi
∂uj (u).
Soit x, t ∈ IR, pour N = 1, on a de plus la règle
Z a
Z b
f (t) dt
f (t) dt = −
b
a
qui implique le cas particulier suivant
Z g(b)
Z b
Z
f (x) dx =
f (g(t)) J(t) dt =
g(a)
a
b
f (g(t)) g 0 (t) dt,
a
avec g ∈ C 1 (]a, b[, IR) et g(a) = b et g(b) = a. On conclut donc que, dans le cas de
l’intégration dans IR, J(t) := g 0 (t) et non pas |g 0 (t)|.
a) Calculer l’intégrale
Z
I=
1
2
u e−u du.
0
en faisant le changement de variables t = u2 et puis t = −u2 . Quel est le
Jacobian J(t) pour chaque cas?
b) On considère un domaine
Ω := {(x, y) ∈ IR2 | 0 < x < 1, 0 < y <
p
1 − x2 }.
Calculer l’aire de Ω en utilisant les coordonnées polaires x = r cos θ, y = r sin θ,
θ ∈]0, π2 [ et ensuite x = r sin ψ, y = r cos ψ, ψ ∈]0, π2 [. Quel est le Jacobien
pour chaque cas?
2. Soit f : ]a, b[→ IRn une fonction continue. Si f (x) = (f1 (x), f2 (x), ..., fn (x)) on
définit
Z b
Z b
Z b
Z b
f (x)dx :=
f1 (x)dx,
f2 (x)dx, ...,
fn (x)dx .
a
a
a
a
Montrer que
Z b
Z b
≤
f
(x)dx
|f (x)| dx
a
a
n
où | . | désigne une norme sur IR .
3. Rappel: Intégrales triples et changement de variables
Soient S1 et S2 deux boules dans IR3 de rayons R1 et R2 (avec R1 > R2 ) centrées
à l’origine. On définit A par
A = {(x, y, z) ∈ (S1 \ S2 ) y, z ≥ 0}
a) Calculer le volume de A, noté V , en utilisant les coordonnées sphériques.
b) Calculer les coordonnées du centre de masse de A, noté p̄A , pour une densité
uniforme ρ. On rappelle que
RRR
(x, y, z)ρ dV
A
RRR
p̄A =
.
A ρ dV
Observer que cette égalité doit s’interpréter composante par composante, au
sens de l’exercice 2.
c) Calculer les coordonnées du centre de masse de A quand R2 → R1 où la masse
totale M = ρV reste constante.
On verra plus tard que le résultat de la partie c) peut aussi être obtenu directement
par une intégrale de surface.
4. Rappel: Algèbre linéaire et notions de volumes dans IRN
Soit IRN un espace Euclidien muni du produit scalaire usuel. Montrer les résultats
suivants:
a) Pour N = 1 et a, b ∈ IR.
La longueur d’un segment de droite [a, b] est |b−a|. Ou encore avec v1 := b−a,
√
la longueur de v1 est |v1 | ou v1 · v1 .
a
b
v1
b) Pour N = 2 et v1 , v2 ∈ IR2 .
√
i. La longueur d’un segment de droite v1 est toujours |v1 | = v1 · v1 .
ii. L’aire aire(v1 , v2 ) d’un parallélogramme engendré par les vecteurs v1 et v2
est donnée par la base multipliée par la hauteur ou de manière équivalente
par
s
v1 · v1 v 1 · v2
= |det [v1 | v2 ]|.
aire(v1 , v2 ) = det
v1 · v2 v2 · v 2
Noter que [v1 | v2 ] dénote une matrice dont les colonnes sont formées par
les vecteurs v1 et v2 .
v2
v1
v1
c) Pour N = 3 et v1 , v2 , v3 ∈ IR3 .
√
i. La longueur d’un segment de droite v1 est encore |v1 | = v1 · v1 .
ii. L’aire d’un parallélogramme est
s
v1 · v1 v1 · v 2
aire(v1 , v2 ) = det
= |v1 × v2 |,
v1 · v2 v2 · v 2
où × représente le produit vectoriel usuel. On remarque, au passage, que
la matrice [v1 , v2 ] est une matrice 3 × 2 pour laquelle le déterminant n’est
pas défini.
iii. Le volume vol(v1 , v2 , v3 ) d’un parallélépipède engendré par les vecteurs
v1 ,v2 et v3 est l’aire de la base (i.e. l’aire d’un parallélogramme) multiplié
par la hauteur ou aussi
v
u
uv1 · v1 v1 · v2 v1 · v3 u
vol(v1 , v2 , v3 ) = tv2 · v1 v2 · v2 v2 · v3 = |det [v1 | v2 | v3 ]|.
v3 · v1 v3 · v2 v3 · v 3 v3
v2
v1
d) Pour le cas général, soit en dimension N quelconque, il y a exactement N
notions de volumes. Soit v1 , v2 , . . . , vN ∈ IRN .
On définit la matrice Gramienne J × J par


v1 · v1 · · · v 1 · vJ

..  .
..
GJ,N =  ...
.
. 
vJ · v1 · · ·
vJ · vJ
GJ,N est appelée la Gramienne de v1 , v2 , . . . , vJ . On définit le volume à J
dimensions dans IRN engendré par les vecteurs {v1 , v2 , . . . , vJ } par la quantité
p
VJ,N = det GJ,N .
Montrer les résultats suivants.
i. Soient v1 , v2 , . . . , vJ ∈ IRN , des vecteurs orthonormaux (i.e. vi · vj = δij ,
i, j = 1, · · · , J). Vérifier que
VJ,N = 1.
ii. Montrer que si les vecteurs v1 , v2 , . . . , vJ sont linéairement dépendants,
alors
VJ,N = 0.
iii. Montrer que
VN,N = |det [v1 | v2 | ... | vN ]|.
On observe que pour J < N , la matrice [v1 | v2 | ... | vJ ] n’est pas carrée et
que son déterminant n’est pas défini.
iv. Pour les coordonnées sphériques sur IR3
  

x
r sin θ cos φ
x = y  =  r sin θ sin φ 
z
r cos θ
on définit
v1 =
∂x
,
∂r
v2 =
∂x
,
∂θ
v3 =
∂x
.
∂φ
Vérifier que le volume engendré par {v1 , v2 , v3 } vaut
∂(x, y, z) = r2 sin θ.
V3,3 = ∂(r, θ, φ) Le facteur V3,3 correspond donc au Jacobien à utiliser lors d’un changement
de variables. Plus généralement, le facteur VJ,N apparaı̂t dans l’intégration
J-dimensionelle dans IRN .
v. Montrer la relation de récurrence
VJ,N = |PvJ |VJ−1,N ,
où PvJ est le vecteur vJ orthogonalisé par rapport aux vecteurs v1 , v2 , . . . , vJ−1 .
Autrement dit, la formule ‘volume =base × hauteur’ reste vraie dans toutes
les dimensions.
vi. Donner explicitement les cas connus V1,1 , V1,2 , V2,2 , V1,3 , V2,3 et V3,3 .