Fiche Diagonalisation des Matrices 2x2

Fiche Diagonalisation des Matrices 2x2
MOSE 1003
24 Septembre 2014
Table des matières
Motivation, puissances d’une matrice
1
Diagonalisation
2
Vérification avec Scilab
3
Puissance
4
Motivation, puissances d’une matrice
Soit A, B, P ∈ M2 trois matrices carrées carrées d’ordre 2 vérifiant la relation
AP = P B
On a alors par récurrence, pour tout n > 1, la relation
An P = P B n
En effet, en supposant la relation vraie à l’ordre n, on aura
An+1 P = A (An P ) = A (P B n ) = (AP ) B n = (P B) B n = P B n+1
c’est à dire la même relation à l’ordre n + 1.
Ce résultat montre que dans certains cas, il peut y avoir une relation simple entre les puissances n-ièmes de
deux matrices différentes A et B. L’une des idées de la théorie de la diagonalisation est d’en profiter pour
calculer la puissance n-ième de la matrice A, en passant par une matrice B dont la puissance n-ième est facile
à calculer.
Or il existe un type de matrice dont les puissances successives sont faciles à calculer, ce sont les matrices
diagonales. Si D est une matrice diagonale
λ1 0
D=
,
0 λ2
sa puissance n-ième est simplement la matrice diagonale
λ1 n
0
n
D =
0
λ2 n
Exercice le démontrer par récurrence.
Définition Une matrice A ∈ M2 est dite diagonalisable si on peut trouver une matrice diagonale D ∈ M2
et une matrice inversible P ∈ M2 telles que AP = P D, ou encore
A = P DP −1
On a ajouté la condition d’inversibilité de P pour pouvoir exprimer A en fonction de D, et donc aussi An (la
matrice qui nous intéresse)
An = P Dn P −1
On peut remarquer qu’on a aussi les relations suivantes
D = P −1 AP
Dn = P −1 An P
Reste la question de fond : P et D existent-elles ? Comment les déterminer ?
Diagonalisation
Pour réaliser l’égalité AP = P D, où D est une matrice diagonale
telle que ci-dessus, on s’intéresse aux colonnes
de la matrice P , c’est à dire qu’on écrit P = C1 C2 en distiguant les deux colonnes et on constate les
deux faits suivants qui résultent de la définition du produit des matrices
— Les colonnes de AP sont AC1 et AC2
— Les colonnes de P D sont λ1 C1 et λ2 C2
Autrement dit, on aura AP = P D si et seulement si
AC1 = λ1 C1
AC2 = λ2 C2
et
Nos inconnues sont ici λ1 , λ2 et les matrices colonnes C1 et C2 , qui doivent en plus être non proportionelles
pour que la matrice P soit inversible (il faut que son déterminant soit non nul).
Définition On dit qu’une matrice colonne non nulle X ∈ M2,1 est vecteur propre de la matrice A si AX
est proportionelle à X, c’est à dire s’il existe un réel λ, appelé valeur propre associée à X telle que
AX = λX
Cette dernière équation s’appelle équation aux valeurs propres.
Pour bien présenter l’équation aux valeurs propres, on l’écrit généralement sous la forme
(A − λI) X = 0
techniquement, c’est un système de deux équations linéaires à deux inconnues et avec un paramètre λ.
Exemple Soit la matrice
A=
En posant X =
x
y
3
−3
2
8
A − λI =
on a
3−λ
−3
2
8−λ
le vecteur propre inconnu, l’équation aux valeurs propres s’écrit comme le système à
paramètre
(3 − λ) x
+2y
−3x
+ (8 − λ)y
= 0
= 0
On remarque que ce système à un second membre nul, donc il admet au moins la solution x = y = 0. Il se
peut que ce soit la seule solution, mais elle ne nous intéresse pas parce qu’il nous faut des vecteurs propres
non nuls. Reste une seule possibilité : que le système admette une infinité de solutions. Pour cela, il faut que
le déterminant soit nul.
Sur notre exemple, le déterminant vaut
3−λ
2 = (3 − λ) (8 − λ) + 6 = λ2 − 11λ + 30
−3
8−λ On remarque que c’est un polynôme de degré 2. C’est toujours le cas :
2
Définition On appelle polynôme caractéristique de la matrice A ∈ M2 le polynôme du second degré
P (λ) = det (A − λI).
Théorème Un réel λ est valeur propre de la matrice A si et seulement si il est racine du polynôme
caractéristique de A (c’est à dire si P (λ) = 0). Pour ce réel λ, l’équation aux valeurs propres admet comme
solutions une infinité de vecteurs propres non nuls.
Cherchons les valeurs propres sur l’exemple. Il faut résoudre l’équation
λ2 − 11λ + 30 = 0
√
Le discriminant vaut ∆ = 112 − 4 × 30 = 1, il y a donc deux racines réelles distinctes λ1 = 11−2 1 = 5 et
√
λ2 = 11+2 1 = 6
Pour la valeur propre λ = λ1 = 5, le système donnant les vecteurs propres devient
−2x +2y = 0
⇐⇒ −2x +2y = 0
−3x +3x = 0
1
Une solution non nulle est par exemple
. Ce sera la première colonne de notre matrice P .
1
Pour la valeur propre λ = λ2 = 6, le système donnant les vecteurs propres devient
−3x +2y = 0
⇐⇒ −3x +2y = 0
−3x +2x = 0
2
Une solution non nulle est par exemple
. Ce sera la deuxième colonne de notre matrice P . On voit qu’on
3
a un peu de liberté dans le choix de la matrice P .
On a donc diagonalisé la matrice A, c’est à dire qu’on a trouvé une matrice diagonale D et une matrice
inversible P , à savoir
5 0
1 2
D=
et
P =
0 6
1 3
telles que
AP = P D
A = P DP −1
et
et
D = P −1 AP
On a ici
P
−1
=
3
−1
−2
1
d’après la règle donnée dans le cours.
Remarque.
— Lorsque le polynôme caractéristique n’a qu’une seule racine réelle (le discriminant est nul). Il y a
deux cas de figure :
— Il se peut que la matrice A soit une matrice diagonale, dans ce cas on prend D = A et P = I2
— Sinon, la matrice A n’est pas diagonalisable parce qu’on ne pourra pas trouver deux vecteurs
propres non proportionnels formant les colonnes d’une matrice P
— Lorsque le polynôme caractéristique n’a pas de racine réelles (son discriminant est strictement
négatif), on peut conclure que la matrice n’est pas diagonalisable, c’est à dire qu’on ne peut pas
trouver de matrices D et P vérifiant les conditions demandées. Cependant, il est quand même
possible de diagonaliser A en permettant à D et P d’avoir des coefficients complexes. En effet,
le polynôme caractéristique admet deux racines complexes distinctes, et le travail qu’on a fait
ci-dessus peut s’effectuer avec des nombres complexes. On dit alors que A est diagonalisable sur
C.
3
Vérification avec Scilab
On peut vérifier les relations entre les matrices obtenues dans la console scilab
-->A = [3 2 ;-3 8];
-->P = [1 2 ; 1 3];
-->D = [5 0; 0 6];
-->inv(P)
ans =
3.
- 1.
- 2.
1.
-->P * D * inv(P)
ans =
3.
- 3.
2.
8.
-->A * P - P * D
ans =
0.
0.
0.
0.
Scilab est également capable de diagonaliser seul la matrice A à l’aide de la fonction bdiag()
-->A = [3 2 ;-3 8];
-->[D, P] = bdiag(A)
P =
- 0.7071068
- 0.7071068
D =
5.
0.
- 2.8284271
- 4.2426407
0.
6.
Il trouve la même matrice diagonale (le seul changement possible serait l’ordre des valeurs propres), par
contre, il trouve une matrice P différente de la nôtre (on a vu qu’il y a une part d’arbitraire dans le choix des
colonnes de P ). Ici chacune des colonnes trouvées par scilab est proportionelle à la colonne trouvée dans notre
matrice P .
Attention.
Si A n’est pas diagonalisable, la fonction bdiag() de scilab produira une matrice D non diagonale. C’est
le cas notament s’il y a des valeurs propres complexes. On peut utiliser
[V, D] = spec(A)
pour obtenir la diagonalisation complexe.
Puissance
D’après ce qui précède, on a
n
1 2
5
n
A =
1 3
0
0
6n
3
−1
−2
1
=
3 × 5n − 2 × 6n
3 × 5n − 3 × 6n
−2 × 5n + 2 × 6n
−2 × 5n + 3 × 6n
Naturellement, l’intérêt de cette formule est surtout théorique, puisque scilab peut calculer numériquement
les puissances de A
-->A ** 7
ans =
- 325497.
403622.
4
- 605433.
683558.
-->A ** 32
ans =
10^25 *
- 1.5847473
- 2.3806134
1.5870756
2.3829417
On voit une limitation de ce calcul numérique : scilab dit que
−1.5847473 1.5870756
A32 = 1025
−2.3806134 2.3829417
On voit que ce calcul est approximatif : A32 contient en fait des entiers comprenant 25 chiffres, et scilab
n’affiche que 8 chiffres significatifs (bien qu’en fait il en stocke plus, 16 ou 20, mais enfin, il y a une limite).
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