FONCTIONS DÉRIVÉES I. Savoir calculer une dérivée : II. Établir le

FONCTIONS DÉRIVÉES
I.
Savoir calculer une dérivée :
• Exemple : Calculer la dérivée f ′(x ) dans chacun des cas suivants :
f (x ) = 3x 4 + 5x − 1
g( x ) =
3
x
h( x ) =
• Méthode :
On utilise les formules du calcul des dérivées.
3
x2
k ( x) =
2x + 1
x2
f(x)
f '(x)
f(x)
f '(x)
ax + b
axn
1
x
a
naxn-1
1
− 2
x
1
2 x
u(x) + v(x)
u.v
1
u
u
v
u'(x) + v'(x)
u'.v + u.v'
u′
− 2
u
u′v − uv ′
v2
x
• Solution :
f (x ) = 3x 4 + 5x − 1 ⇒ f ′(x ) = 12x 3 + 5
3
3
g( x ) = ⇒ g′( x ) = − 2
x
x
3
3(2 x )
6x
h( x ) = 2 ⇒ h′( x ) = − 2 2 ⇒ f ′( x ) = − 4
x
x
(x )
2(x 2 ) − (2 x + 1)(2 x )
2x + 1
2x2 − 4x2 − 2x
k ( x) =
⇒ k ′( x ) =
⇒ k ′( x ) =
x2
x4
(x 2 )2
−2 x 2 − 2 x
−2 x( x + 1)
(
)
⇒ k ′( x ) =
⇒
k
x
=
′
x4
x4
II. Établir le tableau de variation d'une fonction avec la dérivée :
• Exemple : Étudier les variations de la fonction définie par f (x ) = x 2 − 2x
• Solution :
f ′(x ) = 2x − 2
D'où
f ′(x ) > 0 ⇔ 2x − 2 > 0 ⇔ x > 1
x > 1 ⇒ f ′(x ) > 0 ⇒ f (x ) ↑
x < 1 ⇒ f ′(x ) < 0 ⇒ f (x ) ↓
Comme on a
f (1) = −1
on obtient le tableau suivant :
x -∞
f ′(x)
f (x)
+∞
1
–
0
+∞
4
3
2
1
+
+∞
0
-1
0
-1
-1
-2
FI_DRIV.DOC
1
2
3
III. Déterminer un maximum ou un minimum avec la dérivée :
Coût C(q)
• Exemple : dans une entreprise, le coût de stockage d'une marchandise en fonction de la
90000
quantité q achetée est donné par la formule C (q ) = 400q +
pour q ∈ [1;50].
q
Quelle est la valeur de q qui rend minimale le coût de la gestion du stock ?
• Solution :
90000
On étudie les variations de la fonction C (q ) = 400q +
q
2
2
90000 400q − 90000
q − 225
100000
C′ (q ) = 400 −
=
= 400
2
2
2
q
q
q
90000
(q + 15)(q − 15)
80000
C′ (q ) = 400
2
q
70000
60000
Donc C′(q ) > 0 ⇔ (q + 15)(q − 15) > 0
50000
Et
q > 0 ⇒ C′(q ) > 0 ⇔ q > 15
40000
On obtient le tableau de variations suivant :
30000
q 1
C′ (q)
C(q)
15
–
0
90400
50
20000
+
10000
0
21800
0
5
10 15 20 25 30 35 40 45 50
Quantité q
12000
IV. Déterminer la tangente à une courbe avec la dérivée :
x2 3
− x − 2, (C )
2 2
sa courbe représentative et M le point de (C ) d'abscisse 3.
Donner l'équation de la tangente (T ) à (C ) au point M.
• Solution :
On calcule le nombre dérivé a = f ′(3) de la fonction f au point
M d'abscisse 3.
3
3
3
f ′( x ) = x − ⇒ f ′(3) = 3 − ⇒ f ′(3) = = a .
2
2
2
a est le coefficient directeur de la tangente à (C ) au point M.
• Exemple : soit f fonction définie par f (x ) =
4
3
2
1
0
-2
-1
0
1
2
3
4
-1
-2
M
-3
-4
La tangente (T ) a donc une équation de la forme :
(C)
-5
3
(T)
y = x +b
-6
2
-7
Elle passe par M = (3; f (3)), soit M = (3; − 2)
Ainsi en M on a x = 3 et y = −2 que l'on reporte dans l'équation de la droite pour obtenir b
3
9
13
−2 = (3) + b ⇒ b = −2 − ⇒ b = −
2
2
2
3
13
D'où l'équation de (T ) : y = x −
2
2
FI_DRIV.DOC
5
6