Première S

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Mathématiques
Correction Devoir Surveillé n° 7
Exercice n°1 (2,5 points)
f est la fonction définie sur ] 0 ; + ∞ [ par : f ( x ) = . On note C la courbe représentant f dans un repère.
1 ) Fonction dérivée de f.
u
La fonction f est du type « » où pour tout réel strictement positif,
v
1
u′ ( x ) =
u ( x) = x
2 x
v ( x) = x + 2
v′ ( x ) = 1
u ′ u ′ v − uv′
On sait que   =
, ainsi pour tout réel x strictement positif,
v2
 v
1
x + 2 2x
x + 2 − 2x
× ( x + 2) − x
−
− x+ 2
2 x =
f ′ ( x) = 2 x
= 2 x 22 x =
2
2
2
2 x ( x + 2)
( x + 2)
( x + 2)
( x + 2)
2 ) La courbe C admet-elle une tangente horizontale ? Si oui, en quel point ?
La courbe admet une tangente horizontale en x, réel strictement positif, si et seulement si f ′ ( x ) = 0 , c'est-à-dire
− x+ 2
= 0⇔ − x+ 2= 0⇔ x = 2.
2
2 x ( x + 2)
(le dénominateur s’annule en 0 et en -2,ce qui n’est pas envisageable car x > 0)
C admet une tangente horizontale en 2.
Exercice n°2 (11,5 points)
Soit la fonction f définie par: f ( x) =
x² − 4
. On notera Cf sa courbe représentative.
2x − 5
a) Domaine de définition de f et ensemble de dérivabilité.
La fonction f est une fonction rationnelle, les valeurs interdites sont les valeurs de x qui annulent le
dénominateur.
5  5
5
 5 

2x − 5 = 0 ⇔ x =
. Donc D f = D f ′ = ¡ −   =  − ∞ ;  ∪  ; + ∞  .
2  2
2
 2 

b) Dérivée de f.
u
La fonction f est du type « » où pour tout réel strictement positif,
v
2
u ( x) = x − 4
u′ ( x ) = 2 x
v ( x) = 2x − 5
v′ ( x ) = 2
u ′ u ′ v − uv′
On sait que   =
, ainsi pour tout réel x strictement positif,
v2
 v
( 2 x ) ( 2 x − 5 ) − ( x 2 − 4 ) ( 2 ) 4 x 2 − 10 x − 2 x 2 + 8 2 x 2 − 10 x + 8
f ′ ( x) =
=
=
.
2
2
2
( 2 x − 5)
( 2 x − 5)
( 2 x − 5)
1
c) Variations de f.
● Cherchons d’abord les valeurs de x qui annulent la dérivée de f :
Pour tout réel de D f ,
f ′ ( x ) = 0 ⇔ 2 x 2 − 10 x + 8 = 0 , équation du second degré.
Calculons son discriminant : ∆ = ( − 10 ) − 4 × 2 × 8 = 100 − 64 = 36 .
Il est positif, l’équation admet donc deux solutions données par :
10 − 36 10 − 6
10 + 36 10 + 6
et
x1 =
=
=1
x2 =
=
= 4.
2× 2
4
2× 2
4
La dérivée s’annule en 1 et 4.
2
● Signe de la dérivée :
2
Pour tout réel x de D f , ( 2 x − 5 ) > 0 . Donc f ′est du signe de 2 x 2 − 10 x + 8 .
2 x 2 − 10 x + 8 est un trinôme du second degré du signe de a = 2 à l’extérieur de ses racines, 1 et 4.
x
-∞
1
+
2 x 2 − 10 x + 8
4
-
+∞
+
On en déduit le signe de f ′et les variations de f :
x
-∞
1
5/2
+
f ′(x)
-
4
+∞
-
+
1
f
4
d) Équation de la tangente T à Cf au point d’abscisse 3
T : y = f ′ ( 3 ) ( x − 3) + f ( 3 )
Soit y = − 4 ( x − 3) + 5 , ou encore : T : y = − 4 x + 17 .
e) Coordonnées des points où la tangente à la courbe est horizontale.
(On appellera T1 et T2 ces tangentes horizontales).
Lorsqu’une tangente est horizontale, son coefficient directeur, c'est-à-dire Lorsqu’une tangente est
horizontale, son coefficient directeur, c'est-à-dire f ′(x), est nul.
D’après la question c), f ′ s’annule en 1 et en 4. Donc les coordonnées des points où la tangente est
horizontale sont :
A(1 ;1) et B(4 ;4)
Équations de T1 et T2 :
T1 : y = 1
et
T2 : y = 4.
f)
x
f(x)
-7
-6
-5
-4
-3
-2,4 -1,9 -1,4 -0,9 -0,5
-2
-1
0
1
2
2,4 2,6
0
0,4 0,8
1
0 -8,8 13,8
Les valeurs sont arrondies à 0,1 près.
3
5
4
4
5
4,2
6
4,6
7
5
g)
c
.
2x − 5
Mettons le second membre sous forme de fraction : soit x réel différent de 5/2,
( ax + b ) ( 2 x − 5) + c = 2ax 2 − 5ax + 2bx − 5b + c = 2ax 2 + ( − 5 x + 2b ) x − 5b + c
c
ax + b +
=
2x − 5
2x − 5
2x − 5
2x − 5
2
2
c
x − 4 2ax + ( − 5 x + 2b ) x − 5b + c
f ( x ) = ax + b +
⇔
=
2x − 5
2x − 5
2x − 5
2
2
⇔ x − 4 = 2ax + ( − 5a + 2b ) x − 5b + c
h) Écrire f(x) sous la forme f ( x ) = ax + b +
1

a
=

2
 1 = 2a

5


⇔  0 = − 5a + 2b ⇔  b =
4
 − 4 = − 5b + c


9

c= 4

1
5
9
D’où f ( x) = x + +
2
4 4 ( 2 x − 5)
i) On note ∆ d’équation y = ax + b où a et b sont les coefficients trouvés à la question h).
Plus x prend de grandes valeurs et plus la droite ∆ et la courbe Cf se rapproche l’une de l’autre. Il en ait
de même lorsque x prend de très petites valeurs.
Exercice n° 3 (4,5 points)
Dans un morceau de carton carré de 12 centimètres de côté, on découpe dans chaque coin des carrés de x
centimètres de côté. En relevant les bords, on construit une boîte sans couvercle avec la feuille ainsi découpée.
1) Quel est l’ensemble des valeurs possibles pour x ?
x peut prendre les valeurs de 0 à 6 : cas extrêmes : la boite n’a pas de rebords et x=0, ou la boite n’a pas de fond
et x = 6.
2) Volume V(x) de la boîte ainsi obtenue en fonction de x.
Le volume d’un pavé est donné par la formule : « longueur × largeur × hauteur ».
Le fond de la boite est un carré donc la largeur et la longueur sont identiques.
V(x) = (12 - 2x)² × x = x (12 - 2x)² = x (144 – 48 x + 4 x²) = 144 x – 48 x² + 4 x3
3) Variations de V sur l’intervalle [0;6].
V ′ ( x ) = 144 − 96 x 2 + 12 x 2 = 12 ( 12 − 8 x + x 2 )
V ′ ( x ) = 0 ⇔ 12 − 8 x + x 2 = 0 .
Il s’agit d’une équation du second degré de discriminant ∆ = 82 − 4 × 1× 12 = 64 − 48 = 16 positif. Elle admet
8 − 16 8 − 4
8 + 16 8 + 4
donc deux solutions données par : x1 =
et
=
= 2
x2 =
=
= 6.
2× 1
2
2× 1
2
Un polynôme du second degré est du signe du coefficient du terme en x² à l’extérieur de ses racines. Ainsi :
x
V ′(x)
0
2
-
+
128
V
4) Valeur de x qui rend le volume maximal : 2
Volume maximal : 128
Dimensions de la boîte : 8 × 8 × 2 ( L×l×h)
6
0
Exercice n° 4 (1,5 points)
Voici les représentions graphiques C1, C2 et C3de trois fonctions f1, f2 et f3 (à gauche ) et, données dans le
désordre les représentions graphiques Γ , Σ et Φ de leurs fonctions dérivées f’1, f’2 et f’3 , ( à droite ).
En justifiant la réponse, associer à chaque fonction f’1, f’2, f’3 la courbe Γ , Σ ou Φ qui lui correspond .
Représentation graphique Γ , Σ et Φ
Représentation graphique de f1, f2 et f3
100
10
C2
8
Γ
C1
6
60
4
40
2
20
C3
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
Σ
80
4
5
-3
-2
-1
0
0
1
2
3
4
-20
-2
Φ
-4
-40
-6
-60
-8
-80
-10
-100
Lorsqu’une fonction est croissante, sa dérivée est positive, lorsqu’elle est décroissante, sa dérivée est
négative.
f’1 a pour courbe Σ, f’2 a pour courbe Γ et f’3 a pour courbe Φ.
5