Terminale STG M1

Terminale STG M1
Devoir Surveillé n°3
Exercice 1 :
On considère une fonction f définie sur l’intervalle [−2 ; 2].
La figure ci-contre donne une partie de la courbe C représentative de la
fonction f dans un repère orthonormal du plan ainsi que la droite D,
tangente à la courbe au point d’abscisse 0. On note f ’ la fonction
dérivée de f sur [−2 ; 2].
1. Par lecture graphique en sans justifier :
a) Déterminer f(0).
b) Donner le nombre de solutions de f(x) = 0 sans donner de valeur de
ces solutions.
c) Donner le nombre de solutions de f ’ (x) = 0 sans donner de valeur
de ces solutions.
2. Par lecture graphique et en justifiant, déterminer f ’(0).
3. L’une des trois courbes C1 , C2 , C3 ci-après est la courbe de la fonction f ’. En justifiant
votre réponse, éliminer les deux courbes qui ne peuvent représenter f ’.
Exercice 2 :
Dans une petite entreprise, la fabrication journalière de x (avec x dans [0 ; 50]) objets impose
un coût de fabrication par objets, en euros, noté f(x) avec f(x) = x2 − 40x + 480.
Cet objet étant vendu 12 €, le chiffre d’affaires en euros, réalisé par l’entreprise par la vente de
x objets, est donc le nombre réel g(x) = 12x.
On rappelle que le bénéfice B réalisé par l’entreprise par la fabrication et la vente de x objets
et la différence entre le chiffre d’affaires et le coût de fabrication.
1. Montrer que : B(x) = −x2 + 52x − 480 pour tout x de [0 ; 50].
2. a) Déterminer la fonction dérivée B’ de B sur [0 ; 50].
b) Etudier le signe de B’ et en déduire le tableau de variations de B sur [0 ; 50].
3. En déduire le bénéfice maximal que l’entreprise peut réaliser, en précisant la production
journalière correspondante.
Corrigé du Devoir Surveillé n°3
Exercice 1 :
1. Par lecture graphique :
a) f(0) = 1 b) f(x) = 0 a deux solutions dans [−2; 2]
c) f ’(x) = 0 a une unique solution dans [−2 ; 2].
2. f ’(0) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse 0.
Par lecture graphique, on a : f ’(0) = −1.
3. La fonction de la courbe C3 s’annule deux fois sur [−2 ; 2] alors que f ’ ne s’annule
qu’une fois donc C3 ne peut être la courbe de f ’ .
La fonction de la courbe C2 prend une valeur différente de −1 en 0 donc C2 ne peut être
la courbe de f ’ .
Exercice 2 :
1. Pour x dans [0 ; 50],
B(x) = g(x) − f(x) = 12x − (x2 − 40x + 480)
B(x) = 12x − x2 + 40x − 480 = −x2 + 52x − 480.
2. a) La dérivée de B a pour expression : B’(x ) = − 2x + 52.
b) B’(x) = 0  −2x + 52 = 0  x = 26. B’ est affine de coefficient directeur −2 donc le
tableau de signes de B’ est :
x
0
26
50
+
0
−
B’(x)
On en déduit le tableau de variation
de B :
x
0
26
50
+
0
B′(x)
−
196
B(x)
−480
−380 3. Le bénéfice journalier maximal
est 196 € pour une production de 26 objets.