Niveau : Type d`utilisation : Matériel : Logiciel : Objectifs :

ACTIVITÉ TICE : DÉRIVATION
Niveau :
Bac Professionnel
Type d'utilisation :
Cours en salle d'informatique muni d'un vidéo-projecteur ou d'un tableau interactif
Matériel :
1 ordinateur par binôme et/ou un poste prof avec vidéo-projecteur ou un tableau interactif.
Logiciel :
Graphmatica http://www8.pair.com/ksoft/francais/about.html
Objectifs :
Vérifier la validité d'une loi, d'une hypothèse par expérimentation interactive
En prenant comme support une fonction du second degré issue d'une situation concrète (étude
cinématique du déplacement d'un véhicule) ; l'ordinateur permet de s'affranchir de calculs
répétitifs de nombres dérivés pour trouver la relation entre l'expression de la fonction et celle
de sa fonction dérivée.
DÉRIVATION
VROUM...
La Peugeot 207 1.6 HDi modèle 2006 présente les caractéristiques suivantes :
(source : http://feline207.online.fr/modules/sections/index.php?op=viewarticle&artid=11 ) :
207 1.6 HDi
Prix TTC
à partir de 14 550 €
Emission CO2 (g/km)
120
Puissance
90 ch
Cylindrée
1560 cc
Nombre de cylindres
4
Couple maximum N.m
(à tr/min)
215
(à 4000)
Vitesse maximale (km/h)
182
Accélération
(0 - 100 km/h)
11,5 secondes
1. Sachant que l'équation de la vitesse instantanée est v = a × t ( vitesse v en m/s ;
accélération a en m/s² ; temps t en s) et que la valeur de l’accélération de la Peugeot 207 est
a ≈ 2,4 m/s², calculer les vitesses atteintes aux temps t suivants. Arrondir les résultats à 0,1.
t en s
0
2
5
7
10
12
15
20
v en m/s
v en
km/h
2. En combien de temps la voiture atteindra t-elle sa vitesse maximale ? Arrondir le résultat au
dixième de seconde.
Rappel : d’après l’équation horaire d’un mouvement rectiligne uniformément accéléré sans
vitesse initiale, on peut écrire : , a étant l’accélération.
3. Sachant que la valeur de l’accélération de la Peugeot 207 est a ≈ 2,4 m/s², écrire son
équation horaire lors d’un mouvement rectiligne uniformément accéléré.
derivation.odt
2
La situation précédente peut être représentée par une fonction numérique : la branche de
parabole ci-dessous est la représentation graphique, de la fonction f définie par :
f(x) = 1,2 x2 sur l’intervalle [0 ; 22].
y
600
550
500
450
400
350
300
C
B
250
200
150
A
100
50
0
0
2
4
6
D8
10
12
14
16
18
20
22
x
On se propose de déterminer les valeurs des coefficients directeurs des deux droites (AC) et
(DB), tangentes à la courbe respectivement aux points A et B.
yM – yN
, déterminer le coefficient directeur a1 de la droite (AC)
x M −x N
sachant que les coordonnées des points A et C sont les suivantes : A(10 ; 120) C(18 ; 312)
A l’aide de la relation a =
2. Déterminer le coefficient directeur a2 de la droite (DB) sachant que les coordonnées des
points D et B sont les suivantes : D(7,5 ; 0)
B(15 ; 270)
3.
Regrouper les résultats dans le tableau ci-dessous :
point
abscisse x
A
10
B
15
coefficient directeur a
derivation.odt
3
N OMBRE
DÉRIVÉ
On appelle « nombre dérivé » le coefficient directeur a de la tangente au point d’abscisse
xo.
Notation : f ’ (x0) = a
y
f’(x0)
a

0
0
x
x0
Relation entre a et x
1. Démarrer graphmatica2 et charger le fichier derive.gr
2. Cliquer sur le bouton « Dessiner une tangente »
3. Placer le curseur sur le point de coordonnées (0 ; 0). Ajuster la
valeur de l’abscisse à 0 dans le champ « Tracer tangente à x = » et
cliquer sur calculer.
4. Relever la valeur du coefficient directeur et compléter le tableau de valeurs suivant en
modifiant les valeurs de x comme précédemment :
x
a
0
2
5
7
10
24
12
15
20
36
5. Etablir une relation entre a et x.
6. Comparer les résultats obtenus dans le tableau précédent et celui des vitesses atteintes par
la voiture. Conclure.
derivation.odt
4
F ONCTION
DÉRIVÉE
Ouvrir un nouveau fichier dans graphmatica. Tracer, à l’aide du logiciel, la représentation
2
graphiques de la fonction g suivantes telle que g(x) = −1,5x
(entrer dans le champ :
y=-1.5*x^2 et appuyer sur "Entrée")
1. Tracer les tangentes pour les valeurs de x du tableau ci-dessous et
relever la valeur du nombre dérivé (coefficient directeur de la
tangente) correspondant :
x
−1,5
−1
−0,5
0,25
1
1,5
a
2. Opérer de la même manière pour une fonction du second degré et des valeurs de x de votre
choix .
Le menu déroulant du champ
"Equation" permet de choisir la
fonction
h : h(x) = ..........................
x
a
3. conclure : si l’expression de la fonction est de la forme f(x) = k × x2 ; quelle est l’expression
du nombre dérivé ?
a = …………………………
Définition
Soient les nombres réels a et b.
La fonction qui, à tout nombre x de l'intervalle [a ; b] associe le nombre dérivé de
appelée fonction dérivée de la fonction f. On notre cette fonction dérivée f '
derivation.odt
f en x, est
5
Dérivées de fonctions usuelles
Fonction f
Fonction dérivée f '
ax+b
a
x2
2x
x3
3x2
1
x
−
1
2
x
u+v
u'+v'
a× u
a×u'
1. Déterminer f '(x) où f ' est la fonction dérivée de la fonction f telle que f(x) = 1,2 × x2
f ' (x) = ........................
2. En utilisant l'expression de f '(x), déterminer, en km/h, la vitesse atteinte par la Peugeot 207
Hdi au bout de 21,1 s (arrondir le résultat à l'unité).
Exercice :
Déterminer les fonctions dérivées des fonctions suivantes :
f : f(x) = − 3 x + 2
g : g(x) =
3
x
.............................................................................................
h : h(x) = − 2 x3
i : i(x) =
3
4
x2
j : j(x) = 5x 2 – 4x + 5
derivation.odt
.............................................................................................
.............................................................................................
.............................................................................................
.............................................................................................
6
E TUDE
DU SENS DE VARIATION D ' UNE FONCTION
image : http://www.infovisual.info/
E
I
r
La tension délivrée par la batterie de la
voiture, de f.e.m (force électromotrice) E
et de résistance interne r, est déterminée
par la relation suivante :
U =E−rI
U = E - rI
U : tension en volts
r : résistance interne en ohm
;
;
E : f.e.m en volts
I : intensité en ampères
On cherche à déterminer les variations de puissance délivrée par cette batterie pour des
valeurs d'intensité comprises entre 0 et 400 ampères.
1. Exprimer la tension U en fonction de I pour une batterie de f.e.m E = 13,2 V et de résistance
interne r = 33 mΩ
2. En utilisant la relation précédente et sachant que la puissance électrique est donnée par la
relation P = U × I, exprimer la puissance P en fonction de I :
La situation précédente peut être représentée par une fonction numérique.
Soit la fonction f, définie sur l'intervalle [0 ; 400], telle que : f(x) = − 0,033 x2 + 13,2 x
3. Déterminer f '(x), la fonction dérivée f ' de la fonction f
4. Etudier le signe de la dérivée en complétant le tableau de signes suivant :
x
f'(x) = .......................
0
..........
400
0
A RETENIR
Propriétés :

Lorsque le signe de la dérivée est positif, la fonction est ................................

Lorsque le signe de la dérivée est négatif, la fonction est ................................

Lorsque la dérivée est nulle et change de signe, la fonction admet un ............................
derivation.odt
7
5. Calculer :
f(0) =
f(400) =
f(200)=
6. Compléter le tableau de variation suivant à partir des résultats et des propriétés énoncées
précédemment
x
0
.......
signe de
f '(x)
400
0
.......
variation de
f
.......
........
7. Conclure :
La puissance de la batterie augmente pour des intensités comprises entre .............. et
............... ampères ;
elle atteint le maximum de ................ watt à ................ ampères ;
elle diminue pour des intensités comprises entre ............... et .............. ampères.
8. Quelle est la valeur du nombre dérivé au point M (200 ; 1320) ?
Tracer la tangente en ce point dans le repère de la page suivante .
Quelle est sa particularité ?
9. Compléter le tableau et tracer la courbe représentative de la fonction f sur l'intervalle
[ 0 ; 400]
x
50
100
150
300
350
f(x) = − 0,033 x2 + 13,2 x
derivation.odt
8
y
1400
M
1300
1200
1100
1000
900
800
700
600
500
400
300
200
100
0
0
25
derivation.odt
50
75
100
125
150
175
200
225
250
275
300
325
350
375
9
400
x
A NNEXE : M ISE
Binôme :.......................................
EN COMMUN DES RÉSULTATS ÉLÈVES
Fonction
h
: ................................
Fonction
h
: ................................
Fonction
h
: ................................
Fonction
h
: ................................
Fonction
h
: ................................
Fonction
h
: ................................
Fonction
h
: ................................
x
a
Binôme :.......................................
x
a
Binôme :.......................................
x
a
Binôme :.......................................
x
a
Binôme :.......................................
x
a
Binôme :.......................................
x
a
Binôme :.......................................
x
a
derivation.odt
10