MAXIMA ET MINIMA

CHAPITRE XXI
MAXIMA ET MINIMA
Ces problèmes des maxima sont, en fait, la principale application du Calcul Différentiel, et
nous sommes maintenant parfaitement en mesure de les résoudre. Quelques exemples le
montreront et nous aurons ainsi l’occasion, de plus, de voir le rôle des dérivées dans l’étude
des fonctions.
200. Dérivée d’une fonction.
En dérivant, à l’aide du § 142, les trois fonctions de la figure XVIII-1, on
obtiendrait
dy
Pour y = 2x − 6
=2
dx
dy
Pour y = 2x + 3
=2
dx
dy
Et, enfin, Pour y = 2x
=2
dx
Ces trois fonctions admettent, toutes trois, la même dérivée, ce qui ne nous
surprend pas outre mesure, puisque les constantes –6, +3 et zéro ont (§ 145),
toutes trois zéro pour dérivée. Or, ces trois fonctions avaient, en commun (§ 173),
un même coefficient angulaire, une même pente, et nous avons alors quelque
chance de pouvoir établir un rapport entre ces deux propriétés.
Et nous dirons – pour l’instant – que la dérivée d’une fonction représente la pente
de cette fonction ; par la disparition de la constante, nous montrerons tout juste
que la dérivée ne tient
y +∞
plus aucun compte de
18
l’ordonnée à l’origine (§
175).
16
D
Si cette constatation n’est
Sécantes
14
pas très importante encore
6
dans la fonction linéaire,
12
unités
où l’on peut déterminer
10
(9 à 15)
C
cette pente par des
8
moyens simples, elle nous
4 unités
confirme, tout de même, à
6
(4 à 8) Tangentes
B
l’aide des dérivées, la
4
constance de cette pente,
2 unités
A
2
quel que soit l’intervalle
(1 à 3)
considéré de la variable
0
x +∞
indépendante.
0
1
2
3
4
Cette même dérivée
Fig. XXI-1. La dérivée indique la pente de la tangente.
représentera tout aussi
bien la pente d’une
parabole qui, elle, ne présente plus de variation linéaire (§ 190).
Dans la dérivée 2x, de la fonction y = x2, on peut constater
que cette nouvelle expression n’est pas une constante, puisque elle contient
encore la variable x,
que la variation de cette nouvelle expression – un binôme du premier
degré – sera déjà plus simple que celle de la parabole elle-même.
201. Dérivées et tangentes
Cette nouvelle expression y = 2x représenterait quelque chose comme le
coefficient angulaire (§ 173), et indiquera à peu près(tableau XX-A) de combien
augmente la variable dépendante, lorsque la variable indépendante augmente de
l’unité.
Elle répondrait, par exemple, à une question telle que : de combien augmente y,
lorsque x passe de 1 à 2 ?
Réponse fournie par la dérivée : pour x = 1, on aura y’ = 2 . 1 = 2 ; de même
lorsque x passe de 3 à 4, la dérivée donnerait y’ = 2 . 3 = 6 et l’on voit que la pente
n’est plus du tout la même, comme l’avait bien prouvé ce tableau XX-A.
Ces résultats semblent en contradiction avec la figure XX-1 l’accroissement de 3
unités, en passant de 1 à 2, et de 7 unités en passant de 3 à 4, pourtant cette
contradiction n’est qu’apparente.
C’est que tout simplement, ces droites. AB, CD, etc., constituaient des
SECANTES entre deux points de la parabole, alors que la dérivée représente des
TANGENTES à la parabole en ces mêmes points A, B, C, etc. La valeur
numérique de cette dérivée donnera plutôt la PENTE DE LA TANGENTE, donc
indirectement celle de la courbe elle même.
C’est ainsi que se trouve justifié la démonstration du § 200, puisque la droite de la
fonction linéaire n’admet aucune tangente… et que, dans ce cas, les deux pentes
(droites et tangente) se confondent.
Ce point de tangence sera une sorte de position-limite des deux points de contact,
qui coulisseraient le long de la courbe pour venir se confondre en un seul ; la
sécante aurait elle-même, dans ce mouvement, la tangente comme position-limite.
La figure XXI-2 exagère cette situation pour mieux en montrer les différentes
B
Points d’intersection
de la sécante
sécantes
B’
B’’
tangente
A
point de tangence
Fig. XXI-2. En se rapprochant de A. Les sécantes passent succéssivement par les
points B, B’ et B’ ’
phases ; voir aussi la figure XX-3.
Cette notion de limite, nous l’avons, d’ailleurs, déjà vue au chapitre XV, où la
surface de la base formait bien la LIMITE d’un volume. Et traçant, pour une
même fonction, ces diverses tangentes, au lieu de la fonction elle même, on aura
une idée assez précise de la forme, que prendrait la courbe.
La dérivée resterait d’ailleurs, valable même pour des abscisses aussi peu
distantes les unes des autres, que des valeurs inscrites dans le tableau XX-A et
l’aperçu, que nous aurons de la représentation graphique, sera d’autant plus fidèle
que les points de tangence seront plus nombreux. Mieux, lorsque le nombre de ces
points augmente de plus en plus, on pourra même confondre les tangentes avec la
courbe elle-même, tout comme nous l’avons fait dans la figure V-5 pour les côtés
du polygone.
202. Tangentes et courbes.
En différentiant une fonction, on trouve donc sa tangente, mais, en vertu de notre
y +∞
y = x 2+ 2 2
y= x
y = x 2− 2
Constantes
d’intégration
2
x −∞
y=+∞
-1
x +∞
+1
y −∞
Fig. XXI-3. Les teangentes aux trois fonctions ont la même pente : les fonctions
ne diffèrent que par leur ordonnée à l’origine.
principe des inverses (§ 14), nous dirons aussi, qu’en intégrant sa tangente on
retrouvera la courbe elle-même.
Ainsi, si nous intégrons cette expression y’ = 2x, nous trouverions évidemment x2,
mais nous devrions écrire, pour être plus exact (§ 146)
2x = x 2 + C
En d’autres termes, et de façon plus pratique, il existera une infinité de fonctions
x2 qui, toutes, admettent la dérivée 2x pour tangente (sa pente, en réalité) : ces
diverses fonctions ne diffèrerons entre elles que par la valeur de leur ordonnée à
l’origine (fig. XXI-3).
203. Dérivées négatives.
Suivant les coordonnées du point de tangence considéré, on pourrait être amené à
donner à x, dans cette dérivée, des valeurs négatives, par exemple à gauche de
l’axe des ordonnées de la figure VIII-4. Au point x = −2, par exemple, la pente(de
cette tangente) vaudra y’ = 2(−2) = −4 et sera donc négative (§ 174).
La fonction y = x2 est effectivement décroissante dans cette section. L’angle formé
(fig. XXI-4) par cette tangente et l’axe des abscisses, sera plus grand que 90° et,
pour un tel angle, la tangente trigonométrique, elle aussi, serait bien négative (§
155).
Nous conclurons que le signe de la dérivée renseignera sur le sens même de la
variation.
La fonction y = −x2 (§ 191), par exemple, dans laquelle a est négatif, aura pour
dérivée y’ = −2x ; si nous attribuons encore à x la valeur numérique –2, nous
aurons
y’ = −2(−2) = 4
donc une tangente de pente positive, contrairement au cas précédent.
204. Dérivées nulles.
Puisqu’une dérivée peut prendre des valeurs positives ou des valeurs négatives, il
est à peu près
y+∞
certain, qu’elle
La fonction
passera aussi par la
est
valeur nulle, mais
décroissante
comment interpréter
Cet angle
celle-ci ?
dépasse
A une dérivée
90°
positives, correspond
une fonction
x−∞
croissante et à une
x+∞
dérivée négative, une
fonction
décroissante : entre
ces deux positions, la
fonction aura changé
le sens de sa
y−∞
variation et elle sera
Fig. XXI-4. Une dérivée négative indique une fonction décroissante.
donc passée, soit par
un maximum, soit
par un minimum.
C’est de ce changement de sens que la dérivée nulle sera l’indice.
Ainsi cette inversion se produira dans y = x2 pour 2x = 0, ou encore pour x = 0 ; de
même que, dans y = −x2, puisque −2x égale aussi zéro.
Autre exemple : le trinôme de la figure XX-2
y = x2 −5 + 6
dy
Admet pour dérivée
=2x−5 et celle-ci s’annule pour
dx
2x−5=0
x= 5
2
valeur qui montre très nettement un minimum (fig. XX-2)
205. Maximum ou minimum.
Il y a donc bien inversion, mais s’agit-il d’un maximum ou d’un minimum ?
Pour le déterminer, on pourrait très simplement prendre deux valeurs de x, situées
de part et d’autre de celle, qui annule la dérivée. Dans ce dernier trinôme, la
dérivée prend, par exemple, pour x = 1, x = 5, respectivement, les valeurs –3
(y’=2x −5 = 2 .1 −5 ) et (y’ = 2x −5 = 2 . 5 −5).
AVANT l’inversion (x = 1), nous avons donc une tangente négative, signe d’une
fonction décroissante ; APRES l’inversion(x = 5), cette pente est devenue
positive ; conclusion : entre les deux, il ne pouvait s’agir que d’un minimum.
De même, l’inversion dans y = −x2 se produit pour x = 0 ; avant ce point, par
exemple x = −1, elle donne –2 : la fonction est donc passée par un maximum.
Grâce à cette propriété, les dérivées feront leur entrée dans des domaines tout à
fait pratiques, puisque aussi bien les variations, que nous venons de voir jusqu’ici,
ne sont que le reflet d’une réalité bien tangible.
206. Problème du maximum de surface.
Un prince oriental,
voulant faire don à un
de ses vizirs d’un
terrain, lui remet une
corde, longue de 100
unités et lui promet tout
le terrain, qu’il sera
capable de « clôturer » à
(a)
(b)
l’aide de cette corde. Le
vizir recherchera
évidemment, la plus
grande superficie
1
2
possible et le problème
– bien pratique ! - se
Fig. XXI-5. L’intégration donne directement les surfaces
résume à ceci : qu’elle
hachurées.
est la plus grande
surface pour un
périmètre donné ?
Cette surface S, supposée rectangulaire, sera le produit des côtés, que nous
appellerons ici a et b, et entre lesquels l’énoncé nous indique une autre relation, le
périmètre P ; tout cela donne :
S = ab et P = 2(a + b) = 100
d’où a = 50 −b et l’équation
S = (50 −b)b
S = 50b −b2
Pour quelle valeur de b cette surface aura-t-elle donc un maximum ? Cherchons,
pour cela, tout simplement, la dérivée nulle de S, donc de :
dS =50−2b
−2b + 50 = 0
db
b = 25
L’un des côtés devra donc mesurer 25 unités, le deuxième deviendra alors a=50−b
= 50 − 25 = 25.
En d’autres termes, les deux côté devront être égaux et le terrain à entourer par la
corde donnée, présentera sa plus grande surface, s’il est carré.
207. Problème du maximum de volume.
Dans une surface donnée de métal, on veut découper une boîte cylindrique,
présenterait la plus grande contenance possible.
La surface latérale développée d’un tel cylindre sera un rectangle (fig. XIV-11),
dont la surface se calculera par 2π R h ; la surface totale du cylindre comportera
de plus, les deux cercles de base, soit deux fois πR2 ; le volume du cylindre (« la
contenance ») lui, s’exprime par πR2h et tout cela donne les deux relations :
V=πR2h
S=2πR2 + 2πRh
De cette dernière relation, tirons h, soit :
2
h= S −2π R = 1 (S −2π R 2)
2 πR
2 πR
et reportons-la dans la première relation, ce qui donne
2
V = π R (S −2π R 2)= R (S −2π R 2)
2 πR
2
V = RS −π R3
2
La variable est ici le rayon, R, d’où la dérivée (admirez, en passant, l’avantage
de notre façon d’écrire les dérivées !)
dV = S −3π R2
dR 2
S −3π R3=0
qui s’annule :
2
et en chassant le dénominateur (§ 105):
S − 6πR2 = 0
et en remplaçant par la valeur donnée de S :
2πR2 + 2πRh − 6πR2 = 0
2πRh − 4πR2 =0
2πR(h − 2R) = 0
Le rayon étant une longueur géométrique ne s’annulera pas et seule (§ 3), reste
valable, pour obtenir un produit nul, la possibilité h − 2R = 0, d’où h = 2R.
REPONSE : la boîte aura sa contenance maximum, si sa hauteur égale le
diamètre de sa base.