III – TRAVAUX PRATIQUES

III – TRAVAUX PRATIQUES
TP 1. MINIMUM D'UNE FONCTION
(d'après Fractale 2° page 247 AP3)
L'unité de longueur étant le centimètre, considérons
un rectangle ABCD d'aire fixée 16 cm². La longueur
du côté [AB] exprimée en centimètres est égale à x
(voir figure ci-dessous).
f : 0,+∞ →§
x
16x
2. a) Compléter le tableau de valeurs suivant :
x
.5 1 2 3 4 5 6 10 16 32
f(x)
b
1.
a) Montrer que la longueur du côté [AD] est
16
égale à
.
x
b) Quelles valeurs peut prendre x ?
Ainsi à tout nombre strictement positif x on
16
associe f ( x ) =
. Nous avons ainsi défini une
x
fonction dont l'ensemble de départ est 0,+∞ et
dont l'ensemble d'arrivée est une partie de §.
g
b) Placer les points de coordonnées x , f ( x )
qui figurent dans le tableau ci-dessus.
c) A partir de ces points, donner l'allure de la
courbe obtenue en faisant varier x dans l'intervalle
0.5 , 32 .
3. A chaque valeur de x on associe le périmètre
p(x) du rectangle.
a) Montrer que p( x ) = 2 x +
32
.
x
b) Représenter la fonction p définie par :
p( x ) = 2 x +
32
.
x
c) En observant cette courbe, pouvez-vous
trouver une valeur de x pour laquelle p(x) soit
minimal ?
On note :
Résolution avec la TI-82
Dans la question 2 la calculatrice nous permet de
remplir rapidement le tableau demandé.
Pour commencer, définissons la fonction en
utilisant la touche ( .
obtient la représentation en appuyant sur la touche
,.
On calcule ensuite les valeurs demandées en
utilisant les touches 2 # et & :
Pour la question 3, essayons de représenter
directement la fonction p.
Un premier essai avec le repère standard ne donne
rien.
Comme nous l'avons déjà vu, le choix du mode
Indpnt Ask permet d'entrer librement les valeurs
souhaitées dans la première colonne de la table de
valeurs.
Pour représenter la fonction, on commence par
régler la fenêtre à l'aide du menu WINDOW. Puis on
Essayons de voir quelques valeurs prises par la
fonction pour ajuster notre repère.
La variable x ne prenant que des valeurs positives
nous nous bornerons à §+.
Le minimum est atteint pour x = 4 , et y = 16.
Déterminons le minimum de la fonction.
„ •
b#
Étude avec la TI-92
Commençons par définir notre fonction :
2x+32/x
p(x)
1. Niveau seconde, début de première.
Sans utilisation de la dérivée.
•"•C•
On doit étudier le signe de p ( b) − p ( a ) pour a < b .
Nous allons utiliser la fonction factor, présente
dans le menu F2 Algebra, pour factoriser cette
expression.
Nous étudions cette fonction dans 0,+∞ , de plus
a < b , le signe de cette expression ne dépend donc
que du signe de a b − 16 .
• Si a et b sont tous les deux inférieurs à 4, on
obtient un signe négatif, ce qui montre que la
fonction est décroissante sur 0, 4 .
• Si a et b sont tous les deux supérieurs à 4, on
obtient un signe positif, ce qui montre que la
fonction est croissante sur 4, + ∞ .
2. Utilisation de la dérivée
La TI-92 permet d'obtenir directement l'expression
de la dérivée.
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2
aM •
3. Recherche directe du minimum
p(x),x)
b#
Il est ensuite
expression :
possible
!¨• •
On pouvait naturellement rechercher directement
les racines de la dérivée, en précisant
éventuellement l'intervalle de recherche :
solve(
p(x),x)=0,x)
x>0
de
factoriser
cette
•
¨ •
On peut aussi utiliser directement la fonction fMin
présente dans le menu F3 Calc.
fmin(p(x),x)
x>0
p(4)
•"•C
•
L'étude du signe de la dérivée est alors immédiate.
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3
TP 2. FONCTIONS CONJOINTES
Le programme suivant place dans Y0 (Utiliser Y4
sur les TI-80 et TI-81) une fonction dont la
représentation graphique a une équation du type
2
y = a x +bx+c
Nous pouvons ensuite voir que notre parabole est
2
inversée par rapport à celle définie par y x .
Construisons donc Y2 = -Y1.
Les nombres a, b et c sont déterminés aléatoirement
par le programme.
PROGRAM:PARABOLE
Construction aléatoire
)Q2II
d'une parabole.
;ÓÝ<c
URXQGUDQGÝ% On peut modifier ces
URXQGUDQGÝ& formules pour obtenir
URXQGUDQGÝ$ une plus grande variété
$;A%;&Ý<b
de courbes
'LVS*UDSK
Il reste à translater cette parabole... Pour une
construction plus claire, on peut désactiver Y1 et Y2.
Le but du TP est de retrouver graphiquement ces
coefficients en utilisant les opérations sur les
fonctions vues dans la partie “cours”.
On peut commencer par déterminer les coordonnées
du sommet de la parabole.
A présent, les deux courbes coïncident.
On peut le vérifier avec le tableau de valeurs :
En
résumé
on
a
ici
2
2
f ( x ) ( x 2 ) 9 x 4 x 5
On peut en obtenir confirmation par la machine :
Il semble que le sommet a pour coordonnées (2,9).
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TP 3. UTILISATION DE LA CONVEXITÉ
Étude sur TI-82 ou TI-83
Si on veut par exemple encadrer la fonction sinus
sur l'intervalle 0, π 2 par deux fonctions linéaires,
on peut remarquer que sur cet intervalle la fonction
est concave.
Pour étudier la convexité de la fonction sinus sur
l'intervalle considéré, traçons dans un même repère
la fonction sinus, ainsi que ses dérivées première et
seconde. Pour cela entrons dans Y1 la fonction sinus
comme indiqué ci-dessus.
On définit ensuite dans Y2 la dérivée de cette
fonction : dans le menu I on choisit la
commande n , on valide à l'aide de la touche
¸.
Dans la parenthèse on entre tout d'abord la fonction
Y1 : G ¨ ¨
La fonction Y2 dérivée de sinus est décroissante. Sa
propre dérivée est négative.
Remarque. On peut observer la symétrie entre les
courbes représentant Y1 et Y3, que l'on peut justifier
en vérifiant que Y3 est l'opposée de Y1.
La fonction sinus est donc concave.
La courbe représentant une fonction de ce type est
située en dessous de ses tangentes, et chaque arc de
la courbe est au-dessus de la corde correspondante.
En particulier la courbe représentant la fonction
sinus sur 0, π 2 est sous sa tangente en 0, et audessus de la corde passant par l'origine et le point A
de coordonnées π 2 , 1 .
b
g
L'équation de la droite (OA) est : y =
On entre ensuite deux fois X, séparés par une
virgule. (On dérive la fonction définie dans Y1 par
rapport à X, et on veut la valeur au point X)
2
π
x
Nous aurons donc :
pour tout x ∈ 0, π 2
2
π
x ≤ sin( x ) ≤ x .
Remarque. La tangente en 0 peut être obtenue,
lorsque la courbe représentative de Y1 est à l'écran :
On définit de même la dérivée de Y2, c'est à dire la
dérivée seconde de Y1 , dans Y3.
Choisir l'option Tangent : F z ¸
Atteindre le point désiré à l'aide des touches 6
et 9
3. Valider lorsque X=0, Y=0 est affiché en bas de
l'écran.
On obtient le tracé de la tangente à l'origine.
1.
2.
Il ne reste plus qu'à définir le repère à l'aide de
) , puis à effectuer le tracé avec , .
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aM
Étude avec la TI-92
Traitons à présent cette activité avec la TI-92.
‚
‚
#3D†#
#
#3D†#
#•
Réglons tout d’abord la fenêtre graphique, on y
accède à l’aide de
.
0
1
0
•
CrossP(q-p,[x,y]-p)[1,3]=0
eqd(p,q)
1. Définition de la fonction
„
1
2
Cette fonction, une fois créée, pourra être utilisée
pour rechercher n'importe quelle équation de droite.
Voici par exemple une équation de la droite passant
par les points A( 1, 3) et B( 5, 4) .
eqd([1,3],[5,4])
•
‚aM•6´C•
Entrons maintenant la fonction sinus.
•
Calculons ici une équation de la droite passant par
les points de la courbe d'abscisse 0 et S/2.
eqd([0,y1(0)],[S/2,y1(S/2)])
2. Equation de la tangente
‚cN6´CA´A…A’C
„ †B´C•
Revenons à l’écran de calcul afin de définir la
tangente à la courbe en 0. Utilisons pour cela le
développement de Taylor de la fonction à l’ordre 1.
y
(on stocke dans y2(x)).
b…ŽA C•
Pour obtenir une équation réduite, on résout par
rapport à y
y
3. Equation de la corde
Nous allons maintenant définir l’équation de la
droite passant par deux points d’une courbe. Dans
l’exemple présent l’équation s’obtient facilement “à
la main”, mais la méthode peut être utilisée dans des
exemples plus complexes.
Utilisons la fonction faisant appel à crossP du menu
MATH/Matrix/Vector Ops (voir le manuel en 25-6).
Afin de préparer la représentation graphique, on
extrait le membre de droite de l’équation pour le
stocker dans la fonction y3.
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6
b­XŽC„ ‡B´C•
y
‚
permet de vérifier la présence des trois
fonctions.
‚
donne la représentation graphique.
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7
TEXAS INSTRUMENTS
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