feuille 1 - Site Personnel de Arnaud de Saint Julien
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1 ©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2016-2017 Exercices pour démarrer en Analyse Problématique de type «dictionnaire» Exercice 1 (Dessiner c’est gagner) Construire le graphe d’une fonction f définie sur [1, 4] vérifiant f (1) = −2 et f (4) = 5 dans les cas suivants : 1. L’équation f (x) = 0 admet une unique solution dans [1, 4]. 2. L’équation f (x) = 0 admet trois solutions dans [1, 4]. 3. Le nombre 0 admet deux antécédents dans [1, 4]. 4. L’équation f (x) = 0 n’admet pas de solutions dans [1, 4]. 5. f ([1, 4]) = [−3, 5]. Exercice 2 (Fonctions associées) 1. Tracer sans calculatrice l’allure des courbes des fonctions suivantes : f (x) = 5(x − 2)2 − 3, g(x) = 5 + 3, x−2 √ h(x) = −2 x + 5 + 3. 2. Démontrer par le calcul que la fonction g admet un centre de symétrie que l’on précisera. 3. Soit f : R → R et a ∈ R. Expliquer comment on trace la courbe des fonctions suivantes à partir de celle de f : x 7→ −f (x) + a et x → 7 f (a − x). Exercice 3 Démontrer que la tangente à la courbe C d’équation y = −x4 + 2x2 + x au point A(−1, 0) est aussi tangente à C en un autre point que l’on précisera. Exercice 4 Pour m ∈ R, on considère la fonction fm définie sur R par fm (x) = x+m . x2 + 1 On note Cm la courbe représentative de fm . 1. Démontrer que les tangentes aux courbes Cm au point d’abscisse 0 sont parallèles. 2. Démontrer que les tangentes aux courbes Cm au point d’abscisse 1 sont concourantes. Exercice 5 (Monster’s killer) La figure ci-contre représente un écran de jeu vidéo. Un avion remonte à l’écran de gauche à droite en suivant la courbe d’équation y = −1 − x1 . L’avion peut tirer des missiles selon la tangente à sa trajectoire. En quels points de sa trajectoire l’avion doit-il tirer ses missiles pour abattre successivement les quatre monstres situés en haut de l’écran en (1, 0), (2, 0), (3, 0), (4, 0) ? 2 ©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2016-2017 Continuité, dérivabilité, monotonie... Exercice 6 Étudier, sans calcul de dérivée, la monotonie des fonction suivantes : 1. g : x 7→ cos x1 sur [ 15 , 41 ]. 2. f : x 7→ exp((x − 2)2 + 1) Exercice 7 Dans les trois cas suivants, étudier la continuité et la dérivabilité en 1 de la fonction f définie sur R par : 1. f (x) = x2 − 3 si x 6 1 et f (x) = 3x + 1 sinon. 2. f (x) = x2 − 3 si x 6 1 et f (x) = 3x − 5 sinon. 3. f (x) = x2 − 3 si x 6 1 et f (x) = 2x − 4 sinon. Exercice 8 Étudier la dérivabilités des fonctions suivantes définies par : 1. f (x) = 2. x 7→ √ x3 , g(x) = √ x2 , h(x) = |x3 |, i(x) = |x4 |. √ 1 et x 7→ x5 − 3x4 + 2x3 . 1 + |x| Exercice 9 Soit f, g, h trois fonctions dérivables de R dans R. Donner la dérivée de la fonction f ◦ g ◦ h. Exercice 10 Sans se soucier des ensembles de dérivation, calculer la dérivée des fonctions : r x 2 3 . f (x) = (ln x + 3x) , g(x) = exp(sin(x )), h(x) = x−1 Exercice 11 Soit n ∈ N. Calculer la dérivée n-ième des fonctions √ 1. x 7→ 1 + 2x 2. x 7→ x2 e3x . Étude de fonctions Exercice 12 (Une inégalité classique) 1. Démontrer que pour tout x > 0, on a ln x 6 x − 1. 2. Déterminer l’équation de la tangente à la courbe de ln au point d’abscisse 1. En déduire une interprétation graphique de l’inégalité précédente. 3. Proposer aussi une majoration de ln(1 + x) pour x > −1. Exercice 13 (une étude modèle) On pose f : x 7→ ln(ex − 1). 1. Donner l’ensemble de définition de f , les variations et les limites de f . 2. Déterminer le (ou les) point(s) où la courbe de f coupe l’axe des abscisses. Préciser la tangente en ce (ou ces) point(s). 3. Montrer que la courbe de f admet des asymptotes en +∞ et préciser la position. Exercice 14 (Une étude de fonction) On considère la fonction f : x 7→ √ x5 − x3 . 1. Donner son ensemble de définition. 2. Étudier la dérivabilité de f en 0 et en 1. 3. Justifier que f est dérivable sur un certain ensemble et calculer sa dérivée. 4. Donner le tableau de variation complet de f . Donner la nature de la branche infinie. 3 ©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2016-2017 5. Tracer l’allure de la courbe de f (on peut utiliser librement que la courbe de f admet une tangente verticale au point d’abscisse −1). On ne demande pas de tracé précis mais on fera figurer toutes les tangentes remarquables... Exercice 15 (Un dessin) On considère la fonction f définie sur R par : f (x) = |x − 1| + |x − 2|. 1. Représenter graphiquement la fonction f (sans calculatrice). 2. La fonction f est-elle dérivable ? 3. Étudier les minimums de f . Divers Exercice 16 (Une inégalité) Le but de l’exercice est de résoudre l’inéquation x − 1 6 √ x + 2 (E). 1. Résoudre graphiquement cette inéquation (sans calculatrice). 2. Soit a et b des réels. A-t-on a 6 b ⇔ a2 6 b2 ? Sinon, proposer une autre équivalence. 3. Résoudre alors (E) par le calcul en utilisant des équivalences. Exercice 17 Représenter une fonction continue sur R, et dérivable sur R \ Z exactement. Exercice 18 1. Construire une fonction continue f : R → R nulle sur R− , strictement positive sur ]0, +∞[ mais non dérivable en 0. 2. Construire une fonction dérivable f : R → R nulle sur R− , strictement positive sur ]0, +∞[. 3. Construire une fonction deux-fois dérivable f : R → R nulle sur R− , strictement positive sur ]0, +∞[. Exercice 19 (Un vrai-faux) 1. La fonction x 7→ ln(x2 + 1) est dérivable sur R comme composée de fonctions dérivables sur R. √ 2. La fonction x 7→ x − 1 est dérivable sur [−1, ∞[ comme composée de fonctions dérivables. 3. Soit a et b des réels. Si a 6 b, alors a2 6 b2 . 4. Soit a et b des réels. On a |a − b| 6 |a| − |b|. 5. La fonction inverse est décroissante sur R∗ . 6. Soit r > 0 et a et x des réels. On a : |x − a| 6 r ⇔ a − r 6 x 6 a + r. 7. La somme de deux fonctions croissantes sur I est une fonction croissante sur I. 8. Le produit de deux fonctions croissantes sur I est une fonction croissante sur I. 9. «Une asymptote ne coupe jamais la courbe». 4 ©Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2016-2017 Un peu de technique avec ln et exp Exercice 20 Résoudre dans R les équations : 1. ln(x2 − 1) + ln 4 = ln(4x − 1). 2. e2x − 3ex + 2 = 0. √ 3. x x = √ xx . Exercice 21 Déterminer la dérivée sur ]0, +∞[ des fonctions f suivantes définies par : 1. f (x) = ln(x5 ) 2. f (x) = xx 2 3. f (x) = ex x Exercice 22 (Quelques limites) Les questions sont indépendantes. x 1. Déterminer les limites lorsque x tend vers 0 de (xx )x et x(x ) . 2 2. Déterminer la limite en 0 de exp(−1/x2 ) puis de (exp(−1/x2 ))x . Peut-on donner un sens à 0 puissance 0? 3. Comparer les comportements au voisinage +∞ de ex et xx . Plus délicat Exercice 23 On considère la fonction f définie sur R par f (x) = xb x1 c si x 6= 0 et si f (0) = 1. 1. Démontrer à l’aide d’un encadrement que f est continue en 0. 2. La fonction f est-elle continue en 2 et en 1 2 ? Exercice 24 (Une technique classique) Soit n ∈ N. 1. Calculer n X n k en dérivant de deux façons différentes la fonction f : x 7→ (1 + x)n . k k=0 2. Calculer aussi n X k=0 1 n (on pourra intégrer entre 0 et 1). k+1 k Exercice 25 (Une identité binomiale) Soit n ∈ N∗ 1. Soit k ∈ N avec k 6 n. Calculer la dérivée k-ième de la fonction x 7→ xn . 2. En déduire en calculant de deux façons la dérivée n-ième de x 7→ x2n , que : n 2 X n k=0 k = 2n . n Exercice 26 (Une équation fonctionnelle) Le but de l’exercice est de déterminer toutes les fonctions f dérivables de R dans R vérifiant l’égalité : (?) ∀(x, y) ∈ R2 , f (x + y) = f (x) + f (y). Pour cela on mène un raisonnement par «analyse-synthèse». Analyse : dans les questions 1., 2. et 3., f désigne une fonction dérivable de R dans R vérifiant l’égalité (?). 1. Déterminer f (0). 2. Démontrer que ∀x ∈ R, f 0 (x) = f 0 (0). 3. Que peut-on en déduire pour f ? 4. Synthèse : conclure.