Feuille d`exercices 2 Fonctions : continuité-dérivation

Université Pierre et Marie Curie
LM201 Compléments d’analyse et d’algèbre.
2013-2014
L2 Horaire Aménagé
Feuille d’exercices 2
Fonctions : continuité-dérivation
Exercice 1.
i. Etudier la fonction suivante :
f :x→
√
x−
√
x−1
ii. Donner le nombre de solutions de f (x) = 0, 21 , 1
Exercice 2.
i. Etudier la fonction suivante :
f :x→
x+λ
x2 + 1
ii. Exprimer le minimum et le maximum de la fonction et donner leur limite quand λ → ∞
Exercice 3.
i. Soit f une fonction continue de [a, b] dans lui-même. Montrer que f admet un point fixe.
ii. Soit f une fonction continue de [0, −∞] dans lui-même telle que
+∞. Montrer que f admet un point fixe.
f (x)
x
tend vers l ∈ [0, 1[ en
Exercice 4. Soit f une fonction croissante sur [a, b] telle que f ([a, b]) = [f (a), f (b)]. Montrer que
f est continue.
Exercice 5. Soit f et g deux fonctions continues sur R Montrer h definie sur R par h(x) =
max(f (x), g(x)) est continue.
Exercice 6.
i. Soit f une fonction continue sur [0, +∞] telle que f converge en +∞. Montrer que f est
uniformément continue.
ii. Soit f une fonction uniformément continue de R dans R. Montre qu’il existe (a, b) ∈ R2 tel
que :
∀x ∈ R, |f (x)| ≤ a + b|x|
Exercice 7. Trouver les morphismes continus du groupes (R,+) dans lui-même.
Exercice 8. Existe-t-il une fonction continue f telle que f (Q) ⊂ R \ Q et f (⊂ R \ Q) ⊂ Q
Exercice 9. Soit f une fonction C 1 ([a, b], R) telle que
que f est affine.
f (b)−f (a)
b−a
= sup(f (x), x ∈ [a, b]). Monter
Exercice 10.
i. Soient a et b deux réels tels que a < b et n un entier naturel. Soit f une fonction C n ([a, b], R)
et don la dérivée nième est dérivable sur ]a, b[. Montrer qu’il existe c ∈]a, b[ tel que
f (b) =
n
X
f (k) (a)
k=0
k!
(b − a)k +
(b − a)n+1 f (n+1) (c)
(n + 1)!
ii. Soit f de classe C ∞ sur R et n ∈ N∗ . En prenant b = x et a = 0 et en notant dans la
formule précédente c = θx , en supposant que ce θx est unique, déterminer la limite quand
x → 0 de ce θx
Exercice 11. Soit f : [0, 1] → R de classe C 1 telle que f (0) = 0 et f (1) = 1. Soit n ≥ 2 un entier.
Pn
i. Montrer l’existence de n réels x1 ≤ x2 ≤ ... ≤ xn dans [0, 1] tels que i=1 f 0 (xi ) = n.
ii. On
que f 0 ne s’annule pas. Montrer l’existence de y1 ≤ y2 ≤ ... ≤ yn tels que
Pn suppose
1
i=1 f 0 (xi ) = n.
Exercice 12.
x
i. Montrer que ∀x ∈ [0, 1[, − 1−x
≤ ln(1 − x) ≤ −x
p2
ii. Si r ≤ p ≤ n sont trois entiers naturels, montrer que e−r e− n−p ≤ (1 − nr )n ≤ er .
Pn
iii. Déterminer la limite quand n → +∞ de r=1 ( nr )n
Exercice 13.
Soient f : [a, b] → R dérivable, m un réel compris entre f 0 (a) et f 0 (b). Démontrer qu’il existe
c ∈ [a, b] tel que f 0 (c) = m.
(a)
et h(x) =
Indication : On pose g(x) = f (x)−f
x−a
g(x) = m ou h(x) = m possède une solution.
f (b)−f (x)
.
b−x
Montrer que l’une des deux équations