Page 1 Exercice 94 p 84 : 1) CT(0) = 1 3 x 03 – 1 4 x 02 – 1 2 x 0+ 2

Exercice 94 p 84 :
1
1
1
1) CT(0) =
x 03 – x 02 – x 0 + 2 = 2. Les coûts fixes valent 2 000 euros.
3
4
2
2) a) Toute fonction polynome est dérivable sur ℝ donc CT est dérivable sur [0 ; 6].
1
1
1
1
1
Pour tout réel x de [0 ; 6], CT' (x) =
x 3x2 – x 2x –
= x2 –
x– .
3
4
2
2
2
1
1
1
1
1
Pour tout réel x de [0 ; 6], (x – 1)(x +
) =x2 +
x – x – = x2 –
x–
= CT' (x).
2
2
2
2
2
1
1
b) Etude du signe du trinôme du 2nd degré x2 –
x–
.
2
2
1
1
1
Comme x2 –
x – = (x – 1)(x +
), les racines de ce trinôme sont alors 1 et -0,5.
2
2
2
1
1
x2 –
x–
est alors du signe de a=1, c'est à dire positif, sauf entre les racines.
2
2
On en déduit alors le tableau de variations de CT :
x
signe de CT'' (x)
0
−
1
0
6
+
2
62
CT
19
12
19
⩽ CT(x) ⩽ 2 donc l'équation CT(x) = 50 n'admet pas de solution sur cet intervalle.
12
19
; 62 donc d'après le théorème
Sur [1 ; 6], la fonction CT est continue et strictement croissante. De plus 50∈
12
des valeurs intermédiaires, l'équation CT(x) = 50 admet une unique solution α dans l' intervalle [1 ; 6]. Avec la
calculatrice, on trouve α ≈ 5,6036.
Comme la fonction CT est strictement croissante sur [1 ; 6] et comme le coût total de fabrication ne peut pas
dépasser 50 000 € alors l'entreprise fabriquera au maximum 5 603 cerf-volants.
1 2 1
1
2
+ . CM(x) est exprimé en euros.
3) a) Pour tout x de [0,001 ; 6], CM(x) =
x – x –
3
4
2
x
b) Toute fonction rationnelle est dérivable sur chaque intervalle contenu dans son ensemble de définition
donc CM est dérivable sur [0,001 ; 6].
f (x)
2
1
1
8 x3 −3 x 2−24
=
Pour tout réel x de [0,001 ; 6], CM' (x) =
x 2x – – 2 =
2 .
2
3
4
x
12 x
12 x
c) Pour tout réel x de [0,001 ; 6], f ' (x) = 24x2 – 6x = 6x ( 4x – 1)
2
Comme 24x – 6x = 6x ( 4x – 1), les racines du trinôme du 2nd degré 24x2 – 6x sont 0 et 0,25.
Le trinôme du 2nd degré 24x2 – 6x est du signe de a =24, c'est à dire positif sauf entre ses racines.
On en déduit alors le tableau de variations de f :
c) Sur [0 ; 1],
[
x
signe de f ' (x)
0,001
−
f(0,001)
0,25
0
]
6
+
1596
f
-24,0625
f(0,001) ≈ -24.
Sur [0 ,001; 0,25], -24,0625 ⩽ f(x) < -24 donc l'équation f(x) = 0 n'admet pas de solution sur cet intervalle.
Sur [0,25 ; 6], la fonction f est continue et strictement croissante. De plus 0∈ [ −24,625 ; 1596 ] donc d'après le
théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f(x) = 0 admet une unique solution γ dans l' intervalle [0,25; 6].
Avec la calculatrice, on trouve γ ≈ 1,579.
d) D'après la question précédente, on peut en déduire le tableau de signes de la fonction f .
x
0,001
γ
6
−
Signe de f ( x )
0
+
Comme pour tout réel x de [0,001 ; 6], 12 x 2 > 0 donc CM' (x) est du signe de de f(x).
On en déduit alors le tableau de variations de CM:
x
0,001
signe de CM' (x)
CM(0,001)
−
γ
0
6
+
31
3
CM
CM(γ)
Pour une production proche de 1 579 cerfs-volants, le coût moyen est minimal et vaut environ 1 € 20.