Continuité et dérivabilité. Dérivation des fonctions

Continuité et dérivabilité.
Dérivation des fonctions composées
Propriété : toute fonction dérivable sur un intervalle ouvert I est continue sur I.
Théorème : Soit u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I, à valeurs dans
un intervalle J, et v une fonction définie et dérivable sur un intervalle J. Alors la
fonction v ° u est dérivable sur I et pour tout x de I on a :
Démonstration : soit f dérivable en un réel a ∈ I, alors pour tout x ∈ I , x ≠ a on a:
f  x = f a 

 v ° u  '  x  =u '  x  ×v '  u  x  

f  x− f  a 
× x− a
x− a
Donc...
la fonction v ° u : x
u
la dérivée  v ° u  ' :
x
ux
u'
v u  x
v
u '  x
u '  x × v ' u  x
u
ux
v'
v '  u  x 
Démonstration : soit a ∈ I et x ∈ I tels que x ≠ a et u  x  ≠u  a  alors :
y
3
La réciproque de cette propriété est fausse!
Contre-exemple : la fonction valeur absolue
définie sur ℝ par x→ ∣x∣
La fonction valeur absolue est continue en 0
car....
v  u  x   −v  u  a   v  u  x   − v  u  a   u  x  − u  a 
=
×
x −a
u  x− u a 
x− a
2
Donc...
1
-3
-2
-1
0
1
2
3
x
Exemples :  sin  x 3   ' =
 sin 3  x   ' =
Corollaires : soit u une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I et n ∈ ℕ,
n
n −1
La fonction x→  u  x  n est dérivable sur I et :   u  x    ' = u '  x  ×n  u  x  
La fonction valeur absolue n'est pas dérivable en 0 car...
1
est dérivable sur I et :
 u  x  n
1
u '  x
' =−n ×
 u  x  n
 u  x  n 1
Si u ne s'annule pas sur I alors la fonction x→


Si u est strictement positive sur I alors a fonction x→  u  x  est dérivable sur I et :
 u  x  ' = u '  x 
2  u  x
Exemples :
  x2 1 5  ' =
1
' =
  x 1

2
5
  x 2 1  ' =