Corrige CC3 Exercice 1 Donner le développement limité a lPordre 2

Corrige CC3
Exercice 1
Donner le développement limité a l’ordre 2 en (1; 0) de
f (x; y) = xey :
Un simple calcul nous donne
xey = 1 + x
1
1 + y + (y 2 + 2xy
2
2y) + o((x
1)2 + y 2 )
Exercice 2
2.1) Écrire un développement limité a l’ordre 4 en 0 du numérateur de cette
fraction.
On note
p
p
p(x) = cos(x) 2 cos( 2x) + cos( 3x):
On déduit les expressions suivantes du développement limité de cos(u)
x2
x4
+
+ x4 o(x);
2
24
p
8x4
2 cos( 2x) = 2 + 2x2
+ x4 o(x);
24
p
3x2
9x4
cos( 3x) = 1
+
+ x4 o(x):
2
24
cos(x) = 1
En ajoutant ces expressions, on obtient :
p(x) =
x4
+ x4 o(x):
12
2.2) Prouver que f est continue et dérivable en 0 en utilisant le résultat
précédent.
Si on reprend le résultat précédent, alors on obtient pour x 6= 0
f (x) =
p(x)
x2
=
+ x2 o(x):
2
x
12
On a donc un développement limité a l’ordre 2 pour la fonction f .
Si on utilise ce développement , alors lim f (x) = 0, ce qui prouve que f est
x !0
x
continue en 0. On a de plus f (x)x f0 (0) = 12
+ xo(x). Cette expression tend vers
0 quand x tend vers 0. On en déduit que f est dérivable en 0 et on a
f 0 (x) = lim
x !0
f (x)
x
1
f (0)
= 0:
0
2.3) Donner également un développement limité a l’ordre 2 en 0 de f (x) en
utilisant le résultat de la question 1.
f (x) =
x2
p(x)
=
+ x2 o(x):
2
x
12
Exercice 3
3.1) Etudier le(s) extrema relatif(s) (locaux) de
f (x; y) = x2
xy + y 2 :
Les points critiques de f véri…ent la condition :
(
0 = @f
y;
@x = 2x
=
x
+
2y:
0 = @f
@y
On obtient le point (0; 0).
D’une façon générale, on a
A=
@2f
@2f
= 2; B =
=
2
@x
@x@y
1; C =
@2f
=2
@y 2
Et AC B 2 = 4 1 = 3 > 0. Au point (0; 0) : AC B 2 > 0 et A > 0. Il s’agit
donc d’un minimum local.
3.2) Admet-elle des extrema absolus (globaux) ?
Le point (0; 0) est un point de minimum global ssi pour tout (x; y)
f (x; y)
f (0; 0):
Donc il faut démontrer que x2 xy+y 2
(x 21 y)2 + 34 y 2 0.
0. On voit facilement que x2 xy+y 2 =
Exercice 4
Soit
F (x; y; z) = x2
2xy + y
z + yz:
4.1) Cherchez les points critiques de F .
Les points critiques de f véri…ent la condition :
8
@f
>
< 0 = @x = 2x 2y;
0 = @f
2x + 1 + z;
@y =
>
: 0 = @f = 1 + y:
@z
On obtient le point (1; 1; 1) .
2
4.2) Quelle valeur faut-il attribuer a x pour rendre F (x; y; z) minimale
lorsque y = 3 et z = 1. Calculer ce minimum.
En remplaçant y par 3 et z par 1 dans l’expression de F (x; y; z), on obtient
g(x) = x2
6x + 5:
@g
La dérivée @x
= 2x 6 s’annule dans le point x = 3. Donc g admet un
minimum en x = 3, de valeur g(3) = 4. Ainsi, lorsque y = 3 et z = 1
F (x; y; z) est minimale pour x = 3 et vaut 4.
4.3) Trouver un maximum de F réalisant 2x y = 1 et x + z = 3.
Les condition s’écrivent y = 2x
h(x) = f (x; 2x 1; 1 x). On a
1 et z = 1
x, donc il su¢ t de maximiser
h(x) =
5x2 + 12x
7;
fonction qui admet un maximum en la valeur d’annulation de sa dérivée. Or
h0(x) = 10x + 12, donc h admet en maximum en x = 56 de valeur h( 56 ) = 15 .
Ainsi, lorsque x; y; z sont relies par 2x y = 1 et x + z = 3 la quantité f (x; y; z)
admet en maximum en ( 65 ; 75 ; 96 ) de valeur 51 .
3