TERMINALE ES Chapitre 6 : Fonction logarithme

TERMINALE ES
Chapitre 6 : Fonction logarithme népérien
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Définition
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Soit f la fonction définie sur I = ]0 ;+∞[ par f(x) = . Elle est continue sur I et admet des
x
primitives sur I. Parmi celles-ci, la primitive sur I qui s’annule en x = 1 est appelée fonction
logarithme népérien et est notée ln.
On écrit, pour tout x réel strictement positif, ln x ou ln (x)
2
Conséquences
•
ln 1 = 0
•
la fonction ln est dérivable sur ]0 ; + ∞[, et on en a ln’(x) =
•
Or pour x > 0,
1
x
1
> 0 ce qui signifie que la fonction ln est strictement croissante sur
x
]0 ; + ∞[.
Tableau de variation
x 0
f'
f(x)
+∞
+
+∞
−∞
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Propriétés
Quels que soient les réels x et y strictement positifs,
ln x = ln y ⇔ x = y
ln x > ln y ⇔ x > y
ln x < ln y ⇔ x < y
Et par conséquent, puisque ln 1 = 0, pour tout x > 0
ln x = 0 ⇔ x = 1
ln x > 0 ⇔ x > 1
ln x < 0 ⇔ 0 < x < 1
Quels que soient les fonctions u et v strictement positives,
ln (u(x)) = ln (v(x)) ⇔ u(x) = v(x)
ln (u(x)) > ln (v(x)) ⇔ u(x) > v(x)
ln (u(x)) < ln (v(x)) ⇔ u(x) < v(x)
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Chapitre 6 : Fonction logarithme népérien
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Propriété fondamentale
Pour tous réels a et b strictement positifs, ln (ab) = ln a + ln b
Dé monstration :
Soit a un réel fixé et soit f la fonction définie sur I par f(x) = ln(ax) – ln(x).
a 1 1 1
Pour x > 0, on a f ’(x) = – = - = 0 donc f est constante sur I
ax x x x
De plus f(1) = ln(a) – ln(1) = ln(a) donc pour x > 0, f(x) = ln(ax) – ln(x) = ln(a) d’où ln(ax) =
ln(x) - ln(a)
Conséquences de la propriété fondamentale
Pour tous réels a et b strictement positifs,
1
ln  a = - ln a
 
 a
ln b = ln a – ln b
 
Démonstration :
1
1
1
1
Pour a > 0, a × = 1 donc ln(a × )= ln(1) soit ln a + ln  a = 0 d’où ln a = - ln a
 
 
a
a
1
 a
1
Pour a > 0 et b > 0 , ln b = ln ( a × ) = ln a + ln b = ln a – ln b
 
 
b
Pour tout réel a > 0 et tout entier relatif n, ln (an) = n × ln (a)
1
Pour tout réel a > 0, ln ( a) = × ln (a)
2
Démonstration :
pour a > 0, a² = a donc ln ( a²) = ln (a) soit 2 × ln ( a) = ln (a) et donc ln ( a) =
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la fonction logarithme népérien : ln
Limites : lim ln (x) = +∞ et lim ln (x) = - ∞
x→+ oo
Variations :
x→0
x 0
f'
f(x)
−∞
Courbe représentative
+∞
+
+∞
1
× ln (a)
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Chapitre 6 : Fonction logarithme népérien
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Le nombre e et l’équation ln x = m
Propriété :
Pour tout réel m, l’équation ln x = m admet une unique solution dans I.
Il existe un unique réel strictement positif; noté «e » et appelé "base du logarithme népérien",
tel que ln e = 1
Remarque :
• Une valeur approchée de e est 2,718
• Le point M'(e;1) est le seul point de la courbe représentative du graphe du logarithme
x
népérien où la tangente passe par 1’origine (son équation est y =
e
Pour tout réel m, on note em (que l`on lit « e exposant m » ou « exponentielle m » l’unique
solution de l`équation ln x = m.
On a donc :
l’équation ln x = m a pour solution x = em
Pour tout réel x, on a donc l`éga1ité suivante : ln(ex) = x
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Limites importantes à savoir
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Fonction ln(u)
Propriété
Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I, alors la fonction
u’
f = ln (u) est dérivable sur R et on a : f ’(x) = [ln(u)]’ =
u
Démonstration :
u’(x)
1
× u’(x) =
(ln O u)’(x) = (ln’(u(x))×u’(x) =
u(x)
u(x)
Exemple:
f(x) = ln (x²+ 5) définie sur R et dérivable sur R, f ’(x) =
2x
x² + 5
Primitive :
Soit I un intervalle et u une fonction dérivable sur I et à valeurs strictement positive sur I,
u’
alors une primitive de est ln u
u