Fonction logarithme népérien

Chapitre
8
Fonction logarithme népérien
Contenus
Fonction logarithme népérien
Fonction x 7→ ln x
Relation fonctionnelle, dérivée.
Capacités attendues
• Connaître le sens de variation, les limites et la représentation graphique de la fonction logarithme
népérien.
• Utiliser, pour a réel strictement positif et b réel,
l’équivalence ln a = b ⇔ a = eb .
• Utiliser la relation fonctionnelle pour tansformer
une écriture.
• Calculer la dérivée des fonctions x 7→ ln(u(x)).
• Connaître et utiliser les primitives, pour u stricu′
tement positive, de .
u
ln x
= 0.
• Connaître et exploiter lim
x7→+∞ x
1
Commentaires
• On peut introduire la fonction logarithme
népérien grâce aux propriétés de la fonction exponentielle ou à partir de l’équation
fonctionnelle.
On souligne dans les cadres algébrique et
graphique que les fonctions logarithme népérien et exponentielle sont réciproques
l’une de l’autre. Tout développement théorique sur les fonctions réciproques est exclu.
On fait le lien entre le nombre dérivé de la
fonction logarithme en 1 et la limite en 0
ln(1 + x)
de
.
x
On évoque la fonction logarithme décimal
pour son utilité dans les autres disciplines.
⇆ [SI] Gain lié à une fonction de transfert.
⇆ [SPC] Intensité sonore, magnitude d’un
séisme, échelle des pH.
AP
○ Équations fonctionnelles.
Terminale S
Chapitre 8 - Fonction logarithme népérien
2 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes
Table des matières
8 Fonction logarithme népérien
I - La fonction "logarithme népérien" . . . . . .
II - Étude de la fonction logarithme népérien . . .
III - Compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.
Croissances comparées . . . . . . . . .
2.
La fonction logarithme décimal . . . .
3.
Les fonctions exponentielles de base a
4.
Les fonctions racine nième . . . . . . .
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1
3
4
7
7
8
8
9
I - La fonction "logarithme népérien"
a = eb
x
La fonction x 7→ e est continue et strictement croissante sur R, de plus lim ex = 0 et lim ex = +∞.
x→−∞
∆:y=x
C : y = ex
x→+∞
D’après le théorème de la bijection, pour tout réel a ∈
]0; +∞[, il existe un unique réel b ∈ R tel que a =
eb (on dit que x 7→ ex réalise une bijection de R sur
]0; +∞[).
e
b
Γ : y = ln(x)
b = ln a
b
Définition 1
La fonction logarithme népérien, notée ln, est
la «fonction réciproque de la fonction exponentielle», à chaque réel x ∈]0; +∞[ elle associe
l’unique réel noté ln x tel que :
#»

O
#»
ı
b
e
a
eln x = x.
Remarques :
• ln 1 = 0 car e0 = 1.
• ln e = 1 car e1 = e.
• ln a = ln b ⇔ a = b car a = b ⇔ ea = eb .
Propriété 1 Admises
La fonction ln est continue sur ]0; +∞[.
Théorème 1 Relation fonctionnelle
Pour tous réels a et b strictements positifs, on a :
ln(ab) = ln a + ln b.
Démonstration
eln a+ln b = eln a × eln b = ab, or eln(ab) = ab. Donc ln(ab) = ln a + ln b.
3
Terminale S
Chapitre 8 - Fonction logarithme népérien
Propriété 2
Pour tous réels a et b strictements positifs et n ∈ Z.
1
= − ln a.
Åaã
a
(2) ln
= ln a − ln b.
b
(1) ln
Å ã
(3) ln(an ) = n ln a.
√
1
(4) ln a = ln a.
2
Démonstration
1
1
1
) = ln a + ln , d’où ln = − ln a.
a
a
a
Äaä
1
1
= ln a + ln = ln a − ln b.
= ln a ×
(2) ln
b
b
b
(3) À l’aide du (1), on montre par récurrence que ln(an ) = n ln(a) pour n ∈ N, puis pour n ∈ Z− , en posant m = −n ∈ N, on a
1
ln(an ) = ln m = − ln(am ) = −m ln a = n ln a.
a
√ 2
√
√
1
(4) ln a = ln( a ) = 2 ln a, d’où ln a = ln a.
2
(1) 0 = ln 1 = ln(a ×
Exemples 1
(1) Montrer que :
A = ln 27 = 3 ln 3 ;
6
= ln 3 − 4 ln 2 ;
B = ln
32
√
5
C = ln(9 3) = ln 3 ;
2
√
√
D = ln( 10 + 3)4 + ln( 10 − 3)4 = 0 ;
E = 7 ln e3 + 5 ln
3
1
e
= 6;
A = ln 33 = 3 ln 3 ;
3
3
= ln 4 = ln 3 − 4 ln 2 ;
B = ln
16
2
√
5
1
2
Solution C = ln 3 + ln 3 = 2 ln 3 + ln 3 = ln 3 ;
2
2
√
√
√
D = 4 ln( 10 + 3) + 4 ln(sqrt10 − 3) = 4 ln[( 10 + 3)( 10 − 3)] = 4 ln(10 − 9) = 4 ln 1 = 0 ;
1
E = 7 × 2 ln e + 5 × 3 ln = 21 × 1 − 15 ln e = 6.
e
(2) Résoudre l’équation (E) : ln x + ln(x − 3) = 2 ln 2.
On doit avoir x > 0 et x > 3, (E) se résoud donc sur ]3; +∞[.
3
2
Solution (E) ⇔ ln x(x − 3) = ln 4 ⇔ x − 3x = 4 ⇔ x − 3x − 4 = 0.
Le discriminant du trinôme est ∆ = 25, et on a x1 = −1 et x2 = 4. D’où S = {4}.
II - Étude de la fonction logarithme népérien
Remarque : La fonction exponentielle étant strictement croissante sur R, on a : a < b ⇔ ea < eb .
Propriété 3
La fonction ln est strictement croissante sur ]0; +∞[.
Démonstration
Soit 0 < a < b, puisque a = eln a et b = eln b , on a 0 < eln a < eln b . D’où ln a < ln b.
Remarques :
• On a donc aussi a < b ⇔ ln a < ln b.
• ln x > 0 ⇔ x > 1 et ln x < 0 ⇔ 0 < x < 1.
4 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes
Terminale S
Chapitre 8 - Fonction logarithme népérien
Exemples 2
1. Résoudre l’inéquation (I1 ) : ln(x + 2) + ln(x + 1 => ln(2x − 10).
On doit avoir, x > −2, x > 1 et x > −5, on résoud (I1 ) sur ]1; +∞[.
2
Solution (I1 ) ⇔ ln[(x + 2)(x − 1)] > ln(2x + 10) ⇔ (x + 2)(x − 1) > 2x + 10 ⇔ x − x − 12 > 0.
2
Le discriminant est ∆ = 49 et les racines −3 et 4, ainsi x − x − 12 > 0 sur ] − ∞; −3] ∪ [4; +∞[, donc S =]4; +∞[.
2. Résoudre l’inéquation (I2 ) : (ln x)2 − 4 ln x 6 0.
On doit avoir x > 0, on résoud (I2 ) sur ]0; +∞[.
2
4
Solution On pose X = ln x, (I2 ) ⇔ X − 4X 6 0 ⇔ X(X − 4) 6 0 ⇔ X ∈ [0; 4] ⇔ ln x ∈ [0; 4] ⇔ 0 6 ln x 6 4 ⇔ 1 6 x 6 e .
Donc S = [1; e4 ].
3. Déterminer l’entier naturel n tel que
1
2
6 10−6 .
Lafonction
ln étant strictement croissante sur ]0; +∞[,
6 ln 10
1
1
.
6 ln 10−6 ⇔ n ln 6 −6 ln 10 ⇔ −n ln 2 6 −6 ln 10 ⇔ n >
ln
Solution
2
2
ln 2
n
1
Pour n > 20, on a
6 10−6 .
2
Théorème 2
(1) lim ln x = +∞ ;
x→+∞
(2) lim ln x = −∞.
x→0
Démonstration
(1) Soit A > 0, pour x > eA , on ln x > 0, ainsi ln x est aussi grand que l’on veut dès que x est suffisamment grand. Donc
lim ln x = +∞.
x→+∞
(2) Posons X =
1
1
, lim X = +∞, par composition lim ln x = lim ln
= − lim ln X = −∞.
X→+∞
x→0
X→+∞
x x→0
X
x>0
Propriété 4
Pour tout réel a, ln ea = a.
Démonstration
Soit a un réel, la fonction ln étant continue et strictement croissant sur ]0; +∞[ et lim ln x = −∞ et
x→0
ln α
théorème de la bijection, il existe un unique réel α ∈]0; +∞[ tel que : ln α = a. Ainsi, e
lim
x→+∞
a
= +∞. D’après le
= e. D’où α = e et ln ea = a.
Exemples 3
1. Résoudre l’équation e4x − e2x − 1 = 0.
√
√
1− 5
1+ 5
On pose X = e2x , l’équation s’écrit X 2 −X −1 = 0, le discriminant est ∆ = 5 et les solutions X1 =
et X2 =
.
2
2
√
√
√
1+ 5
5
5
1
+
1
+
Or, X > 0 et X1 < 0, la seule solution est donc X =
. On a alors e2x =
⇔ 2x = ln
⇔ x =
2
2
2
√
Solution 1
1+ 5
ln
.
2
ß2
√ ™
1
1+ 5
S =
.
ln
2
2
2. Résoudre l’inéquation 2e3x − 1 > 0.
Solution La fonction ln étant strictement croissante sur ]0; +∞[, l’équation équivaut à ln e3x > e1/2 ⇔ 3x >
√
e. Donc S =
n√ o
e
.
3
Théorème 3
La fonction ln est dérivable sur ]0; +∞[ et sa dérivée est la fonction x 7→
1
.
x
Remarque : Pour montrer qu’une fonction f est dérivable en a, il faut montrer que le taux de variations
f (a + h) − f (a)
f (x) − f (a)
admet une limite finie lorsque h tend vers 0. En posant x = a + h, le taux s’écrit
et
h
x−a
par composition il suffit de montrer qu’il admet une limite finie lorsque x tend vers a.
5 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes
Terminale S
Chapitre 8 - Fonction logarithme népérien
Démonstration
Soit a et x deux réels strictements positifs, le taux de variation de la fonction ln en a est
y−b
ln x − ln a
= y
en posant y = ln x
x−a
e − eb
et b = ln a.
y−b
ln x − ln a
= lim y
.
La fonction ln étant continue en x, lim ln x = ln a, ainsi lim y = b. Ainsi par composition, lim
y→b e − eb
x→a
x→a
x→a
x−a
y
b
e −e
Or, la fonction exponentielle est dérivable sur R et (exp)′ = exp, on en déduit que lim
= eb et par passage à l’inverse :
y→b y − b
1
1
1
ln x − ln a
= b = , ainsi ln est dérivable en a et (ln)′ (a) = .
lim
x→a
x−a
e
a
a
Propriété 5 Admise
Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur I.
u′
La fonction ln u est dérivable sur I et (ln u) = .
u
Exemples 4
1. F définie sur R par F (x) = ln(ex + 2) est dérivable sur R et F ′ (x) =
2.
Z
ln 3
0
ex
.
+2
ex
5
ex
3
dx = [ln(ex + 2)]ln
= ln eln 3 + 2 − ln(e0 + 2) = ln 5 − ln 3 = ln .
0
+2
3
ex
Exercices Calculer
Z
2
0
2x + 1
dx,
x2 + x + 1
Z
0
1
1
dx et
x+1
Z
π/4
tan x dx.
0
Propriété 6
ln(x + 1)
lim
= 1.
x→0
x
Démonstration
ln(x + 1)
1
est le taux d’accroissement de la fonction ln entre 1 et x. Cette fonction étant dérivable en 1, et ln′ (1) = = 1, on en
x
1
déduit le résultat.
Exercices Calculer lim
x→1
ln(2x)
ln x
et lim
.
x−1
2x
−1
x→ 1
2
Propriété 7
Soit u une fonction dérivable qui ne s’annule pas sur I.
u′ (x)
sur I sont les fonctions de la forme x 7→ ln |u(x)| + C avec C ∈ R.
Les primitives de la fonction x 7→
u(x)
Exemple 5
Z 1
Calculer
0
1
dx.
2−x
Exercices Soit f définie sur R \ {1; 2} par f (x) =
x2 + 3x + 2
.
x2 − 3x + 2
1. Déterminer les réels a, b et c tels que : f (x) = a +
Solution On trouve f (x) = 1 −
6
12
+
.
x−1
x−2
x
b
+
.
x−1
x−2
2. Déterminer les primitives de f sur ] − ∞; 1[, sur ]1; 2[ et sur ]2; +∞[.
Solution F (x) = x − 6 ln |x − 1| + 12 ln |x − 2| + C.
6 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes
Terminale S
Chapitre 8 - Fonction logarithme népérien
III - Compléments
1. Croissances comparées
Rappels
ex
lim
= 0 et lim xex = 0.
x→+∞ x
x→−∞
Théorème 4
(1) lim x ln x = 0 ;
(2)
x→0
ln x
= 0.
x→+∞ x
lim
Démonstration
(1) On pose X = ln x, on a eX = x et lim X = −∞.
x→0
Par composition, lim x ln x =
x→0
lim XeX = 0.
X→−∞
1
(2) On pose X = et lim X = 0+ .
x→+∞
x
1
ln x
= lim X ln
= lim −X ln X = 0.
Par composition, lim
X→0
X→0
x→+∞ x
X
ln x
= 0 (il suffit de poser X = xn , puis d’utiliser ce
xn
1
1
théorème moyennant une petite transformation d’écriture : xn ln x = xn × n ln x = xn ln xn .)
n
n
Remarque : On a également : lim xn ln x = 0 et lim
x→+∞
x→0
y = ex
y = x3
140
120
100
y = x2
80
60
40
20
y=x
y = ln x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
• Le phénomène de croissance comparée entre les trois types de courbes d’équation :
x = xn (n > 0), y = ln x et y = ex ,
est illustré par la représentation graphique ci-dessus.
7 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes
10
Terminale S
Chapitre 8 - Fonction logarithme népérien
• Quelle que soit la puissance de la fonction x 7→ xn (n > 0), il existe un réel strictement positif A, à partir
duquel on aura : ex > xn .
• On dit pour résumer ces croissances comparées :
– «La fonction x 7→ ex croit plus vite à l’infini que toute puissance de x (x 7→ xn , pour n ∈ N) » ;
– «Toute puissance de x (x 7→ xn , pour n ∈ N) croit plus vite à l’infini que la fonction x 7→ ln x».
2. La fonction logarithme décimal
Définition 2
La fonction logarithme décimal notée log, est la fonction définie sur ]0; +∞[ par :
log x =
ln x
.
ln 10
Remarques :
• Puisque ln 10 > 0, la fonction log possède le même tableau de variation que la fonction ln avec log 1 = 0 et
log 10 = 1 mais aussi les mêmes propriétés algébriques.
• Si m est un entier dont l’écriture décimale comporte n chiffres, alors Ent(log m) = n − 1.
ln x
. a = 2 est notamment
• On définit également les fonctions logarithme de base a pour a > 0 par loga (x) =
ln a
utilisée en informatique pour mesurer la complexité d’un algorithme.
3. Les fonctions exponentielles de base a
Définition 3
Soit a un réel strictement positif. On définit sur R la fonction expontielle de base a, notée expa par :
expa (x) = ex ln a pour tout réel x.
Remarques :
• expa (0) = e0 = 1, exp1 (x) = 1 pour tout réel x ;
n
• Pour tout n ∈ Z, expa (n) = en ln a = eln a = an .
Convention
Pour tout réel x, on note expa (x) = ax .
Propriété 8
Soit a et b deux réels strictements positifs, x et y des réels.
(1) ax+y = ax ay ;
(2) a−x =
1
;
ax
ay
;
ax
(4) (ax )y = axy ;
(3) ay−x =
(5) (ab)x = ax bx ;
Å ãx
a
ax
(6)
= x.
b
b
Démonstration
(1) ax+y = e( x + y) ln a = ex ln a ey ln a = ax ay .
(2) ... à faire en exercice
Exemple 6
Quel est le plus grand nombre : π e ou eπ ?
π e = ee ln π , il faut donc comparer e ln π et π.
Solution
e
e−x
−1 =
.
x
x
′
Ainsi, ϕ (x) est positif sur ]0; e[ et négatif sur ]e; +∞[. Par suite, ϕ est strictement décroissante sur ]e; +∞[. Or, e < π,
donc ϕ(e) > ϕ(π) ⇔ 0 > e ln π − π ⇔ e ln π < π. La fonction exponentielle étant strictement croissante sur R, π e < eπ .
Considérons la fonction ϕ définit sur ]0; +∞[ par ϕ(x) = e ln x − x. Elle est dérivable sur ]0; +∞[ et ϕ′ (x) =
8 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes
Terminale S
Chapitre 8 - Fonction logarithme népérien
4. Les fonctions racine nième
Pour n ∈ N et n > 2, les fonctions x 7→ xn sont continues et strictements croissantes sur [0; +∞[. Ainsi pour tout
x ∈ [0; +∞[, le théorème de la bijection assure l’existence d’un unique réel y ∈ [0; +∞[ tel que x = y n : on dit que
la fonction x 7→ xn réalise une bijection de [0; +∞[ sur [0; +∞[.
Définition 4
La fonction racine nième√
, est la fonction réciproque de la fonction x 7→ xn qui à chaque réel x ∈ [0; +∞[
associe l’unique réel noté n x tel que :
Ä √ än
n
x = x.
Remarque : 0n = 0 et 1n = 1, ainsi
√
√
n
n
0 = 0 et 1 = 1.
Propriété 9
√
1
Pour tout réel a > 0, n a = a n .
Démonstration
Ä 1 än Ä 1 än
an
= e n ln a
= eln a = a.
9 - Lycée Pierre-Gilles de Gennes