DERIVEES I) Calcul de la fonction dérivée II) Application de la

DERIVEES
I) Calcul de la fonction dérivée
1) Dérivées des fonctions usuelles
Dérivée de
fonctions usuelles
Type de fonction
constante
identité
affine
puissance
inverse
Fonction
xak
xax
x a ax + b
x a x n , n≥1
xa
inverse de puissance
xa
1
n
dérivable sur
R
R
R
R
Fonction dérivée
xa0
x a1
x aa
x a n x n −1
R*
1
x
xa−
R*
, n≥1
xa−
1
x2
n
x n +1
1
racine carrée
x
xa x
]0 ;+∞[
logarithme népérien
x a ln x
]0 ;+∞[
2 x
1
xa
x
exponentielle
x a ex
R
x a ex
xa
2) Théorèmes usuels : u et v sont deux fonctions dérivables sur I, alors .
Opération
la fonction somme de u et v
u + v est dérivable sur I ;
(u + v ) ′ = u ′ + v ′
la fonction produit de u et v
uv est dérivable sur I ;
(uv ) ′ = u ′v + uv ′
la fonction produit de u par un réel
ku, où k∈R est dérivable sur I ;
( k u) ′ = k u ′
si de plus, v ne s annule pas sur I , la fonction quotient de u
par v
la fonction composée de u par v
u
est dérivable sur I ;
v
v o u est dérivable sur I
u
u ′v − uv ′
( )′ =
v
v2
(v o u )′ = u ′ × (v′ o u )
la fonction carré de u
u² est dérivable sur I ;
(u 2 ) ′ = 2 u ×u ′
si de plus, v ne s annule pas sur I , la fonction inverse de v
1
est dérivable sur I ;
v
1
v′
( )′ = − 2
v
v
la fonction puissance de u
u n où n≥1 est dérivable sur I ;
(u n ) ′ = n u ′ × u n −1
si de plus, u est strictement positive sur I, la fonction racine
carrée de u
u est dérivable sur I ;
( u )′ = 2u ′u
si de plus, u est strictement positive sur I, la fonction
logarithme de u
ln u est dérivable sur I ;
(ln u )′ = u ′
la fonction exponentielle de u
u
u
e est dérivable sur I ;
(e ) = u ′ × e
u
′
u
II) Application de la fonction dérivée f ’ : variations et extremum de f.
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et f ′ sa dérivée.
Théorème :
• Si la dérivée f ′ est strictement positive sur I (sauf en quelques points isolés où elle s’annule), alors f est strictement
croissante sur I.
• Si la dérivée f ′ est strictement négative sur I (sauf en quelques points isolés où elle s’annule), alors f est strictement
décroissante sur I.
• Si la dérivée f ′ est nulle sur I, alors f est constante sur I.
Dérivées 1/2
Méthode : dans les exercices, l’étude justifiée du signe de la fonction dérivée f ′ donne le sens de variation de la
fonction f.
Théorème : Soit x0 un réel de I (distinct des extrémités de I).
Si la dérivée f ′ s'annule en x0 en changeant de signe, alors f(x0) est un extremum (local) de f sur I.
III) Tangentes à une courbe
y = f ′(x0 )x + K
Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I, x0 un nombre réel de I
et C f la courbe représentative de la fonction f. Alors le nombre dérivé f ′( x 0 )
est le coefficient directeur de la tangente à C f au point d’abscisse x0.
Cf
f(x0 )
Remarques : 1) Déterminer une équation de la tangente à C f au point d’abscisse
x0 revient à chercher une équation de la droite passant par le point de
coordonnées ( x 0 , f ( x 0 ) ) et de coefficient directeur f ′( x 0 ) .
2) On peut rappeler la formule donnant l’équation de la tangente :
y = f ′(x 0 )(x − x 0 ) + f (x 0 ) .
x0
O
IV) Résolution d’équation
f(b)
Théorème :Soit f une fonction dérivable sur l’intervalle [a ; b].
Si f ′ est strictement positive sur ]a ; b[ alors :
• f est strictement croissante sur [a ; b] ;
• Pour tout réel k appartenant à l’intervalle image
[f(a) ; f(b)], l’équation f(x) = k admet une solution et une
seule α dans [a ; b].
Cf
α
a
b
O
y=k
Rappel : f est croissante sur [a ; b] signifie que pour tous réels x et x’
de [a ; b] tels que x ≤ x’, on a f(x) ≤ f(x’).
f(a)
Théorème :Soit f une fonction dérivable sur l’intervalle [a ; b].
Si f ′ est strictement négative sur ]a ; b[ alors :
f(a)
• f est strictement décroissante sur [a ; b] ;
• Pour tout réel k appartenant à l’intervalle image
[f(b) ; f(a)], l’équation f(x) = k admet une solution et une
seule α dans [a ; b].
α
a
b
O
y=k
Cf
Rappel : f est décroissante sur [a ; b] signifie que pour tous réels x et
x’ de [a ; b] tels que x ≤ x’, on a f(x) ≥ f(x’).
f(b)
Remarques : 1) On a besoin d’utiliser ces théorèmes, lorsque l’on ne peut pas résoudre algébriquement l’équation
considérée : le théorème assure l’existence d’une solution unique α dont on recherche ensuite une valeur approchée à
l’aide de la calculatrice.
2) Considérons un exercice dans lequel on a besoin d’utiliser un des deux théorèmes précédents ; par
exemple, « montrer que l’équation f(x) = 2 admet une solution unique dans l’intervalle [−1 ; 10] ».
¬ On montre que f ′ est strictement positive sur ]−1 ; 10[ et on en
déduit que f est strictement croissante sur [−1 ; 10] ;
Á En montrant par calcul que f(−1) < 2 < f(10), on montre que 2
appartient bien à l’intervalle image [f(−1) ; f(10)] et on en déduit que
l’équation f(x) = 2 admet une solution unique dans l’intervalle
[−1 ; 10].
f(10)
Cf
2∈[f(−1) ;f(10)]
−1
10
α
f(−1)
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