fonction reciproque d`une fonction continue, d`une
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Fonction réciproque d'une fonction continue, d'une fonction dérivable FONCTION RECIPROQUE D'UNE FONCTION CONTINUE, D'UNE FONCTION DERIVABLE. EXEMPLES. ON SE LIMITERA AUX FONCTIONS NUMERIQUES DEFINIES SUR UN INTERVALLE DE R Notations Soit I un intervalle de R. Soit f une fonction définie sur I, à valeurs dans R. Notons C f la courbe représentative de f dans un repère du plan. 1) Condition d'existence d'une fonction réciproque théorème Si f est strictement monotone sur I, alors f réalise une bijection de I sur f(I). démonstration • f est bien entendu surjective de I sur f(I) ; • Supposons f strictement croissante sur I. Soient a, b ∈ I , avec a ≠ b . ou bien a < b et on a f (a) < f (b) (f étant strictement croissante sur I) ou bien a > b et on a f (a) > f (b) (f étant strictement croissante sur I) donc f (a ) ≠ f (b) . • Supposons f strictement décroissante Soient a, b ∈ I , avec a ≠ b . ou bien a < b et on a f (a) > f (b) (f étant strictement décroissante sur I) ou bien a > b et on a f (a) < f (b) (f étant strictement décroissante sur I) donc f (a ) ≠ f (b) . Dans tous les cas, si a ≠ b alors f (a) ≠ f (b) donc f est injective de I sur f(I). définition (fonction réciproque) Soit f une fonction bijective de I sur J, où J est un intervalle de R. On appelle fonction réciproque de f l'application notée f −1 définie sur J par f −1 ( y ) = x , où x est l'unique élément de I tel que f ( x) = y . On note R1 = (O, e1 , e2 ) un repère du plan. propriété géométrique Soit f une fonction bijective de I sur J. Soit f −1 la fonction réciproque de f. Notons C f et C f −1 les courbes représentatives des fonctions f et f −1 dans R1 . Alors C f −1 = s (C f ) , où s est la symétrie par ( ) ( ) rapport à la droite O + R e1 + e2 , parallèlement à O + R e1 − e2 . © S. DUCHET - www.epsilon2000.fr.st 1/10 Fonction réciproque d'une fonction continue, d'une fonction dérivable démonstration Déterminons d'abord l'expression analytique de s : ⎛1 0 ⎞ ⎟⎟ . mat ( s; e1 + e2 , e1 − e2 ) = ⎜⎜ ⎝ 0 − 1⎠ Soit P la matrice de passage de la base e = (e1 , e2 ) à la base e' = (e1 + e2 , e1 − e2 ) . ⎛1 1 ⎞ ⎟⎟ . P = ⎜⎜ ⎝1 − 1⎠ ⎛1 0 ⎞ ⎟⎟ × P −1 mat ( s; e) = P × ⎜⎜ ⎝ 0 − 1⎠ 1 ⎛1 1 ⎞⎛ 1 0 ⎞⎛1 1 ⎞ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎜⎜ 2 ⎝1 − 1⎟⎠⎜⎝ 0 − 1⎟⎠⎜⎝1 − 1⎟⎠ ⎛0 1⎞ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎝1 0⎠ Les coordonnées des points seront exprimées dans le repère R1 . Soit M ( x; y ) ∈ C f . On a y = f (x) donc f −1 ( y ) = x . Soit M ' = s ( M ) . M' a donc pour coordonnées ( y; x) . f −1 ( y ) = x donc M '∈ C f −1 . Par conséquent, s (C f ) ⊂ C f −1 . ( ) On montre de la même façon que s C f −1 ⊂ C f . s étant involutive, on a donc C f −1 ⊂ s (C f ) . Donc C f −1 = s (C f ) . 2) Fonctions réciproques et continuité théorème des valeurs intermédiaires Si f est continue sur un intervalle I, alors f (I ) est un intervalle de R. démonstration Soient α, β ∈ f ( I ) , avec α < β .Montrons que [α, β] ⊂ f ( I ) . Soit t ∈ [α, β] . Soient x1 , x2 ∈ I tels que α = f ( x1 ) et β = f ( x2 ) . Soit la fonction définie par φ( x) = f ( x) − t . Nous allons montrer qu'il existe x0 ∈ I tel que f ( x0 ) = t , c'est-à-dire φ( x0 ) = 0 . Si t = α , alors x0 = x1 . Si t = β , alors x0 = x2 . On suppose donc désormais que t ∉ {α, β} . On a φ( x1 ) = α − t < 0 et φ( x2 ) = β − t > 0 . Soient (an ) et (bn ) les suites définies par : • a0 = x1 et b0 = x2 ; • Pour tout entier naturel n : a +b ⎛a +b ⎞ Si φ⎜ n n ⎟ ≥ 0 , on pose an+1 = an et bn+1 = n n . 2 ⎝ 2 ⎠ a +b ⎛a +b ⎞ Si φ⎜ n n ⎟ < 0 , on pose an+1 = n n et bn+1 = bn . 2 ⎝ 2 ⎠ © S. DUCHET - www.epsilon2000.fr.st 2/10 Fonction réciproque d'une fonction continue, d'une fonction dérivable On a : ∀n ∈ N , an+1 − bn+1 = an − bn 2 . Par une récurrence immédiate, on a : ∀n ∈ N , an − bn = a0 − b0 2n . Montrons par récurrence que : ∀n ∈ N , an ≤ an+1 ≤ bn+1 ≤ bn . Soit P(n) la propriété suivante : an ≤ an+1 ≤ bn+1 ≤ bn . • n=0 : a +b ⎛a +b ⎞ Si φ⎜ 0 0 ⎟ ≥ 0 , alors a1 = a0 et b1 = 0 0 . 2 ⎝ 2 ⎠ b +b ⎫ b1 ≤ 0 0 = b0 ⎪ ⎪ 2 ⎬ ⇒ a0 = a1 ≤ b1 ≤ b0 . a 0 + a0 b1 ≥ = a0 ⎪⎪ 2 ⎭ a +b ⎛a +b ⎞ Si φ⎜ 0 0 ⎟ < 0 , alors a1 = 0 0 et b1 = b0 . 2 ⎝ 2 ⎠ b +b ⎫ a1 ≤ 0 0 = b0 = b1 ⎪ ⎪ 2 ⎬ ⇒ a0 ≤ a1 ≤ b0 = b1 . a 0 + a0 ⎪ a1 ≥ = a0 2 ⎭⎪ • Soit n un entier naturel. Supposons P(n) vraie. On montre que P(n+1) est vraie comme précédemment, en distinguant les cas. • Donc P(n) est vraie pour tout entier naturel n. ⎯ ⎯→ 0 . Ces deux (an ) est donc une suite croissante, (bn ) une suite décroissante et a n − bn ⎯n⎯ ⎯ ⎯→ ∞ suites sont donc adjacentes. Soit l leur limite commune. Par construction, on a : ∀n ∈ N , x1 ≤ an ≤ bn ≤ x2 donc l ∈ [ x1 , x2 ] . φ étant continue sur I donc en l, on a φ(a n ) ⎯⎯ ⎯ ⎯→ φ(l ) et φ(bn ) ⎯⎯ ⎯ ⎯→ φ(l ) . n⎯ ⎯→ ∞ n⎯ ⎯→ ∞ Par construction, φ(an )φ(bn ) ≤ 0 pour tout entier n donc φ(l ) 2 ≤ 0 donc φ(l ) = 0 , avec l ∈ I . On a donc f (l ) = t . théorème Si f est continue et strictement monotone sur I, alors f −1 est continue, strictement monotone et de même sens de monotonie que f. démonstration Monotonie : Soit g = f −1 . Soient y, y '∈ f ( I ) tels que y < y ' . ∃ x, x'∈ I , y = f ( x) et y ' = f ( x' ) . On a donc x = g ( y ) et x' = g ( y ' ) . x ≠ x' car g est injective. • si f est strictement croissante sur I, alors x < x' . Donc g ( y ) < g ( y ' ) et g est strictement croissante sur f (I ) ; © S. DUCHET - www.epsilon2000.fr.st 3/10 Fonction réciproque d'une fonction continue, d'une fonction dérivable si f est strictement décroissante sur I, alors x' < x . Donc g ( y ' ) < g ( y ) et g est strictement décroissante sur f (I ) . g est donc strictement monotone sur f (I ) de même sens de monotonie que f. • Continuité Soit y0 ∈ f ( I ) . ∃ x0 ∈ I , y0 = f ( x0 ) . On suppose f strictement croissante sur I. 0 1er cas : x0 ∈ I Soit ε > 0 ? ∃ ε' > 0, ε' < ε, [ x0 − ε' , x0 + ε' ] ⊂ I . f ( x0 − ε' ) ∈ f ( I ) et f ( x0 + ε' ) ∈ f ( I ) . Soient η1 = y0 − f ( x0 − ε' ) et η 2 = f ( x0 + ε' ) − y0 . Soit η = min(η1 , η2 ) Soit y ∈ f ( I )∩] y 0 − η, y 0 + η[ . On a : y0 − η < y < y0 + η donc y0 − η1 < y < y0 + η2 donc f ( x0 − ε' ) < y < f ( x0 + ε' ) . f étant strictement croissante sur I, g est strictement croissante sur f(I) donc g D f ( x0 − ε' ) < g ( y ) < g D f ( x0 + ε' ) donc x0 − ε' < g ( y ) < x0 + ε' donc g ( y ) − g ( y0 ) < ε' Donc : ∀ε > 0, ∃η > 0, ∀y ∈ f ( I ), y − y0 < η ⇒ g ( y ) − g ( y0 ) < ε . g est donc continue en y0 . o 2ème cas : x0 ∈ I − I Même démonstration que précédemment en considérant [ x0 ; x0 + ε' ] ou [ x0 − ε'; x0 ] Remarque : On n'utilise pas la continuité de f dans cette démonstration. La stricte monotonie de f et le fait que f est définie sur un intervalle suffisent pour obtenir la stricte monotonie et la continuité de g. théorème Les assertions suivantes sont équivalentes : (i) f est continue et injective sur I ; (ii) f est continue et strictement monotone sur I ; (iii) f est strictement monotone sur i et f(I) est un intervalle. démonstration (i ) ⇒ (ii ) On suppose que f est continue et injective sur I. Montrons que f est strictement monotone sur I. a, b ∈ I , a ≠ b . f étant injective, on a f (a ) ≠ f (b) . Supposons f (a) < f (b) (si f (a) > f (b) , on s'intéresse à la fonction –f). Montrons qu'alors f est strictement croissante sur I. Soit x ∈ I . © S. DUCHET - www.epsilon2000.fr.st 4/10 Fonction réciproque d'une fonction continue, d'une fonction dérivable • cas où a < x < b : montrons que f (a) < f ( x) < f (b) . Supposons f ( x) < f (a) . Alors f ( x) < f (a ) < f (b) . f étant continue sur [ x, b] , f ([ x; b]) est un intervalle contenant f ( x) et f (b) donc [ f ( x), f (b)] ⊂ f ([ x, b]) donc f (a ) ∈ f ([ x, b]) . Donc f (a ) < f ( x) . De même, on montre que f ( x) < f (b) • • cas où x < a < b : on montre comme précédemment que f ( x) < f (a ) < f (b) cas où a < b < x : on montre comme précédemment que f (a) < f (b) < f ( x) Soient maintenant x, x'∈ I tels que x < x' . Il suffit d'étudier tous les cas : x < x' < a < b x < a < x' < b x < a < b < x' a < x < x' < b a < x < b < x' a < b < x < x' et d'utiliser ce qui précède pour montrer que l'on a toujours f ( x) < f ( x' ) (ii ) ⇒ (iii ) C'est le théorème des valeurs intermédiaires qui donne le résultat. (iii ) ⇒ (i ) f étant strictement monotone, elle est injective. Supposons que J = f ( I ) est un intervalle de R. Quitte à travailler avec –f, on peut supposer f o strictement croissante sur I. D'après le théorème de la limite monotone, on sait que pour tout t ∈ I , f admet une limite finie à gauche en t notée f (t − ) et une limite finie à droite en t, notée f (t + ) . Soit t ∈ I . • si t ≠ inf I , f (t − ) ≤ f (t ) • si t ≠ sup I , f (t ) ≤ f (t + ) . Supposons que f ne soit pas continue sur I. Il existe t ∈ I tel que t ≠ inf I et f (t − ) < f (t ) ou t ≠ sup I et f (t ) < f (t + ) . Plaçons-nous dans le cas où t ≠ inf I et f (t − ) < f (t ) . t ≠ inf I donc il existe t '∈ I tel que t ' < t . f ( I ) est un intervalle de R contenant f (t ' ) et f (t ) donc [ f (t ' ), f (t )] ⊂ f ( I ) . Donc [ f (t − ), f (t )] ⊂ f ( I ) car f (t ' ) ≤ f (t − ) < f (t ) . Soit y ∈] f (t − ), f (t )[ . Alors y ∈] f (t ' ), f (t )[ . f ( I ) étant un intervalle, il existe x ∈ I tel que y = f ( x) . Si x ≥ t , alors f ( x) ≥ f (t ) (f étant croissante) : contredit le fait que y ∈] f (t ' ), f (t )[ . Si x < t , alors f ( x) < f (t − ) (f étant croissante) : contredit le fait que y ∈] f (t − ), f (t )[ . Dans les deux cas, il y a une contradiction. f est donc continue sur I. ( ( © S. DUCHET - www.epsilon2000.fr.st ) ) ( ) 5/10 Fonction réciproque d'une fonction continue, d'une fonction dérivable 3) Fonctions réciproques et dérivabilité théorème Soient I et J des intervalles de R et f : I → J un homéomorphisme (c'est-à-dire f est bijective de I sur J, f et f −1 sont continues). Soit x0 ∈ I tel que f soit dérivable en x0 . Alors f −1 est dérivable en ' 1 f ( x0 ) si et seulement si f ' ( x0 ) ≠ 0 . Dans ce cas, on a : f −1 ( f ( x0 ) ) = . f ' ( x0 ) ( ) démonstration Supposons f ' ( x0 ) ≠ 0 Soient g = f −1 , y 0 = f ( x0 ) . ⎧ f ( x ) − f ( x0 ) si x ≠ x0 ⎪ x − x0 Soit φ : I → R la fonction définie par : φ( x) = ⎨ ⎪ f ' ( x ) si x = x 0 0 ⎩ φ est continue en x0 (donc sur I) car f est dérivable en x0 . y − y0 ⎧ si y ≠ y0 ⎪ φ D g est définie sur f ( I ) et on a φ D g ( y ) = ⎨ g ( y ) − g ( y0 ) . ⎪ f ' ( g ( y )) si y = y 0 0 ⎩ g est continue en y0 et g ( y0 ) = x0 . φ étant continue en x0 , il en résulte que φ D g est continue en 1 y0 . De plus, φ D g ne s'annule pas sur f ( I ) car g est bijective et f ' ( x0 ) ≠ 0 . Par conséquent, φD g ⎧ g ( y ) − g ( y0 ) si y ≠ y0 ⎪ y − y0 1 ⎪ . est définie sur f ( I ) et on a : =⎨ 1 φ D g ( y) ⎪ si y = y0 ⎪⎩ f ' ( g ( y0 )) g ( y ) − g ( y0 ) 1 1 = , c'est-à-dire f −1 est dérivable en y0 étant continue en y0 , on a lim y → y 0 φD g y − y0 f ' ( g ( y0 )) y≠ y 0 et ( f −1 ) ' 1 . ( y0 ) = f ' ( x0 ) Supposons que f −1 est dérivable en f ( x0 ) Si f ' ( x0 ) = 0 , alors lim x → x0 x ≠ x0 f ( x ) − f ( x0 ) =0. x − x0 Soit y0 = f ( x0 ) . g ( y ) − g ( y0 ) g ( y ) − g ( y0 ) Alors lim = −∞ ou lim = +∞ , ce qui contredit la dérivabilité de f −1 en y → y0 y → y0 y y y y − − 0 0 y≠ y y≠ y 0 0 f ( x0 ) . Donc f ' ( x0 ) ≠ 0 . © S. DUCHET - www.epsilon2000.fr.st 6/10 Fonction réciproque d'une fonction continue, d'une fonction dérivable théorème Soit f une application continue et strictement monotone sur I et J = f (I ) . Alors f est un difféomorphisme de classe C n de I sur J si et seulement si f est de classe C n et f ' ne s'annule pas sur I. démonstration • Si f est un difféomorphisme de classe C n de I sur J, alors f est de classe C n et f ' ne s'annule pas sur I (théorème précédent). • Si f est de classe C n et f ' ne s'annule pas sur I, on a : ( f ')−1 = 1 −1 . Soit φ : R * → R la fonction définie par φ( x) = 1 . x f 'D f ( ) ' Alors f −1 = φ D f 'D f −1 . f 'D f −1 ne s'annule pas donc prend ses valeurs dans R+* ou R−* . φ étant de classe C ∞ sur chacun de ces intervalles et f ' étant de classe C n−1 , on en déduit : (f ) −1 ' est continue (composée de fonctions continues) donc f −1 est de classe C 1 , donc φ D f 'D f −1 ( ) ' est de classe C 1 donc f −1 est de classe C 1 et donc f −1 est de classe C 2 . De proche en proche (récurrence immédiate), on montre que f −1 est de classe C n . 2) Applications 1) Fonctions réciproques des fonctions usuelles Soit f : R+* → R la fonction définie par f ( x) = ln( x) . f est continue sur R+* , strictement croissante sur R+* . f est donc bijective et f −1 est continue sur R = ln( R+* ) , strictement croissante sur R. On note ' 1 f −1 = exp . f −1 = = f −1 donc −1 f 'D f exp'= exp y=x y = exp(x) y = ln(x) O ( ) © S. DUCHET - www.epsilon2000.fr.st 7/10 Fonction réciproque d'une fonction continue, d'une fonction dérivable y=x y = arcsin(x) ⎡ π Soit f : ⎢− , ⎣ 2 π⎤ → R la fonction définie par 2 ⎥⎦ ⎡ π π⎤ f ( x) = sin( x) . f est bijective de ⎢− , ⎥ sur ⎣ 2 2⎦ [−1, 1] et strictement croissante. On note f −1 = arcsin . f −1 est strictement croissante sur [−1, 1] , dérivable sur ] − 1, 1[ et 1 arcsin' ( x) = 1− x2 Soit f : [0 , π] → R la fonction définie par f ( x) = cos( x) . f est bijective de [0 , π] sur [−1,1] et strictement décroissante. y = sin(x) O y=x y = arccos(x) On note f −1 = arccos . f −1 est strictement décroissante sur [−1,1] , dérivable sur ] − 1,1[ et 1 . arccos' ( x) = − 1− x2 O y = cos(x) ⎤ π π⎡ Soit f : ⎥ − , ⎢ → R la fonction définie par ⎦ 2 2⎣ ⎤ π π⎡ f ( x) = tan( x) . f est bijective de ⎥ − , ⎢ sur ⎦ 2 2⎣ ] − ∞, + ∞[ et strictement croissante. y=x O −1 −1 On note f = arctan . f est strictement croissante sur R, dérivable sur R et 1 arctan' ( x) = . 1+ x2 © S. DUCHET - www.epsilon2000.fr.st y = arctan(x) y = tan(x) 8/10 Fonction réciproque d'une fonction continue, d'une fonction dérivable Soit f : [0, + ∞[→ R la fonction définie par f ( x) = ch( x) . f est bijective de [0, + ∞[ sur [1, + ∞[ et strictement croissante. On note f −1 = arg ch . f −1 est strictement croissante sur [1, + ∞[ , dérivable sur ]1, + ∞[ et 1 . arg ch' ( x) = x 2 −1 Pour x > 1, arg ch( x) = ln( x + x 2 − 1) y = f(x) y=x y = argch(x) O y=x Soit f : R → R la fonction définie par f ( x) = sh( x) . f est bijective de R dans R et strictement croissante sur R. On note f −1 = arg sh . f −1 est strictement croissante sur R, dérivable sur R et 1 . arg sh' ( x) = 1+ x2 Pour x ∈ R , arg sh( x) = ln( x + 1 + x 2 ) O y = argsh(x) y = sh(x) Soit f : R → R la fonction définie par f ( x) = th( x) . f est bijective de R dans ] − 1, 1[ et strictement croissante sur R. On note f −1 = arg th . f −1 est strictement croissante sur ] − 1, 1[ , dérivable sur cet intervalle 1 . et arg th' ( x) = 1− x2 1 ⎛1+ x ⎞ Pour x ∈] − 1, 1[, arg th( x) = ln⎜ ⎟. 2 ⎝ 1− x ⎠ y=x y = th(x) O y = argth(x) © S. DUCHET - www.epsilon2000.fr.st 9/10 Fonction réciproque d'une fonction continue, d'une fonction dérivable Soit f : [0, + ∞[→ R la fonction définie par f ( x) = x n ( n ∈ N * ). f est bijective de [0, + ∞[ dans [0, + ∞[ et strictement croissante. f −1 est la fonction définie sur [0, + ∞[ par y = x^n y=x 1 n f ( x) = x . f −1 est strictement croissante sur et [0, + ∞[ , dérivable sur ]0, + ∞[ y = x^(1/n) 1 −1 1 f ' ( x) = × x n n O 2) Un calcul de fonction réciproque Soit f la fonction définie sur [−1, 1] par f ( x) = x . f est continue en 0. 1+ x ⎧ x ⎪⎪1 − x si x ∈ [−1, 0] f ( x) = ⎨ . x ⎪ si x ∈ [0, 1] ⎪⎩1 + x 1 . (1 − x) 2 1 . f est dérivable sur ]0, 1] et ∀x ∈]0, 1], f ' ( x) = (1 + x) 2 f ( x) − f (0) f ( x) − f (0) ⎯⎯ ⎯ ⎯0 →1 et ⎯⎯ ⎯ ⎯0 →1 . x ⎯⎯→ x ⎯⎯→ < > x−0 x−0 Donc f est dérivable en 0 et f ' (0) = 1 , ce qui montre que f est de classe C 1 sur [−1, 1] . f ' ne s'annulant pas sur [−1, 1] , f est donc un difféomorphisme de classe C 1 . f est dérivable sur [−1, 0[ et ∀x ∈ [−1, 0[, f ' ( x) = Calcul de f −1 : Soit x ∈ [−1, 0] et y = f (x) . x y y= donc y − yx = x et donc x = . 1+ y 1− x Soit x ∈ [0, 1] et y = f (x) . x y y= donc y + yx = x donc x = . 1− y 1+ x y < 0 si et seulement si x < 0 . On a donc l'expression de f −1 : y . f −1 ( y ) = 1− y © S. DUCHET - www.epsilon2000.fr.st 10/10