Définition et représentation graphique de la fonction logarithme

CHAPITRE 5 FONCTIONS LOGARITHMES
1 Définition et représentation graphique
de la fonction logarithme népérien
1. Définition
1
La fonction inverse x --- est définie, continue sur ]0 ; + ∞ [ , elle admet
x
donc des primitives sur ]0 ; + ∞ [ .
La fonction logarithme népérien x ln x est la primitive, définie sur
1
]0 ; + ∞ [ , de la fonction x --- qui s’annule en 1.
x
2. Conséquences
• La fonction logarithme népérien, dont la dérivée est strictement positive
sur ]0 ; + ∞ [ , est strictement croissante.
Elle est continue et bijective.
1
• ln ′ ( x ) = --- ;
x
ln 1 = 0.
x
0
1
x --x
• lim ln x = – ∞
+
+
x→0
0
+∞
ln
lim ln x = + ∞ .
x → +∞
1
0
B
0
–∞
ln
A
1
148
+∞
1
e
cours
exercices
savoir-faire
corrigés
• On appelle e le nombre réel tel que ln e = 1.
1
Au point A ( e ; 1 ) , la tangente a pour équation y = --- x et au point
e
B ( 1 ; 0 ) la tangente a pour coefficient directeur 1.
exemple d’application
Déterminer les asymptotes à la courbe représentative de la fonction :
x+3
f : x ln  ------------ .
 x – 1
corrigé commenté
Indication : on commence par déterminer l’ensemble D de définition de la fonction f.
x+3
f ( x ) existe si, et seulement si, ------------ 0 ; le signe de ce quotient est celui d’un trix–1
nôme du second degré de racines 1 et – 3.
x+3
Par suite, ------------ 0 si, et seulement si, x ∈ ] – ∞ ; – 3 [ ] 1 ; + ∞ [ .
x–1
Donc D = ] – ∞ ; – 3 [ ] 1 ; + ∞ [ .
Indication : on étudie ensuite les limites de f aux bornes de D.
3
1 + --x+3
x
• ------------ = ------------- pour x ≠ 0 d’où
x–1
1
1 – --x
composition lim f ( x ) = 0.
1 + 3
---

x
lim  ------------- = 1 et lim ln X = 0 donc par
1
x → ∞
X→1
1 – --
x
x →∞
Donc la droite d’équation y = 0 est asymptote à dans un voisinage de +∞ et de – ∞.
x+3
• lim ------------ = 0 + et lim ln X = – ∞ , donc par composition lim f ( x ) = – ∞ .
x → –3 x – 1
X→0
x → –3
–3
0
–3
Donc la droite d’équation x = – 3 est asymptote à .
• lim ( x – 1 ) = 0 +
x →1
1
et
lim ( x + 3 ) = 4
x →1
donc
x+3
lim  ------------ = + ∞
– 1
x → 1 x
1
et
lim ln X = + ∞ , donc par composition lim f ( x ) = + ∞ .
X → +∞
x→1
1
Donc la droite d’équation x = 1 est asymptote à D.
En définitive, il y a 3 asymptotes d’équations respectives :
y = 0 ; x = – 3 et x = 1.
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CHAPITRE 5 FONCTIONS LOGARITHMES
2 Propriétés et autres fonctions
1. Propriétés de la fonction logarithme népérien
Conditions
Propriétés
a0
b0
ln ab = ln a + ln b (propriété caractéristique des
fonctions logarithmes)
a
1
ln --- = ln a – ln b ; ln --- = – ln b
b
b
ln a α = α ln a avec α ∈ ln a = ln b ⇔ a = b (fonction « ln » bijective)
ln a ln b ⇔ a b (fonction « ln » strictement
croissante)
ln a = 1 ⇔ a = e ; ln a = 0 ⇔ a = 1
0x1
ln x 0
x1
ln x 0
2. Dérivées et primitives
• Soit une fonction u, définie et dérivable sur un intervalle I, telle que pour
tout x de I, u ( x ) soit strictement positif :
u′
( ln ◦ u )′ = ----u
u′
. Si u ( x ) ≠ 0 ( ln ◦ u )′ = ----- .
u
• Soit une fonction u telle que u ( x ) ≠ 0 sur un intervalle I dont la dérivée
u′ est dérivable sur I.
u¢
Les primitives sur I de ----- sont les fonctions ln u + C avec C ∈ .
u
3. Fonction logarithme décimal
ln x
La fonction logarithme décimal est définie sur ]0 ; + ∞[ par log x = ------------- .
ln 10
Cette fonction a la même variation et les mêmes propriétés opératoires que
la fonction logarithme népérien.
1
log 1 = 0 ; log 10 = 1 ; log ′ ( x ) = ----------------- .
x ln 10
Cette fonction est utilisée dans tous les calculs faisant intervenir des puissances de 10.
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cours
savoir-faire
exercices
corrigés
4. Autres limites
ln ( 1 + x )
lim ------------------------ = 1 ;
x
x→0
ln x
lim --------- = 0 ;
x
x → +∞
lim x ln x = 0 (à redémontrer à chaque fois).
x→0
ln ( 1 + h ) ≈ h au voisinage de zéro.
5. Résolution de l’équation ln x = a
Pour chaque réel a, l’équation ln x = a admet une solution unique dans
]0 ; + ∞ [ .
Cette solution est e a et se lit exponentielle de a ou e exposant a.
exemple d’application
x 2 + 3 définie sur ]1 ; + ∞ [ .
Soit la fonction f : x ln -------------x–1
Déterminer les variations de f.
corrigé commenté
x2 + 3
La fonction f est telle que f = ln ◦ u avec u ( x ) = --------------- .
x–1
2x ( x – 1 ) – ( x 2 + 3 )
u′
x 2 – 2x – 3
D’où f ′ = ----- avec u′ ( x ) = -------------------------------------------------- = --------------------------u
( x – 1 )2
( x – 1 )2
donc :
x 2 – 2x – 3
--------------------------( x 2 – 2x – 3 ) ( x – 1 ) .
( x – 1 )2
f ′ ( x ) = --------------------------- = -------------------------------------------------2
( x – 1 )2 ( x2 + 3 )
x +3
--------------x–1
Or sur ]1 ; + ∞[ ; x – 1 0 ; ( x – 1 ) 2 0 et x 2 + 3 0 donc f ′ ( x ) a le même
signe que le trinôme x 2 – 2x – 3 dont les racines sont –1 et 3.
Par suite f ′ ( x ) 0 si, et seulement si, x ∈ ]3 ; + ∞[ et f ′ ( x ) 0 si, et seulement
si, x ∈ ]1 ; 3 ] .
Or f ′ ( 3 ) = 0 donc la fonction f est strictement croissante sur [ 3 ; + • [ et f est
strictement décroissante sur ] – 1 ; 3 ] .
Remarque : ne pas oublier que f n’est définie que sur un ensemble contenu dans Df .
Dans ce cas, D f ′ = D f = ]1 ; + ∞ [ .
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