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Cours de terminale S Fonctions de référence La fonction logarithme
Cours de terminale S Fonctions de référence La fonction logarithme népérien La fonction logarithme décimal Définition et propriétés Cours de terminale S Fonctions de référence La fonction logarithme népérien La fonction logarithme décimal Variations et limites Relation fonctionnelle Compléments LPO de Chirongui Logarithmes décimaux Cours de terminale SFonctions de référenceLa fonction logarithme népérien L 1- Définition- La fonction logarithme népérien Définition et propriétés Définition Définition Propriété Variations et limites La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur R. Le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires permet d’affirmer que quel que soit le réel a strictement positif, il existe un réel unique x tel que ex = a. Relation fonctionnelle Compléments Logarithmes décimaux Définition Si a est un réel strictement positif, la solution unique sur R de l’équation ex = a, d’inconnue x, s’appelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............................. La fonction logarithme népérien 1- Définition- La fonction logarithme népérien Définition et propriétés Définition Définition Propriété Variations et limites La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur R. Le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires permet d’affirmer que quel que soit le réel a strictement positif, il existe un réel unique x tel que ex = a. Relation fonctionnelle Compléments Logarithmes décimaux Définition Si a est un réel strictement positif, la solution unique sur R de l’équation ex = a, d’inconnue x, s’appelle logarithme népérien de a, et on note x = ln a. La fonction logarithme népérien 1- Définition- La fonction logarithme népérien Définition Définition et propriétés Définition Définition Propriété La fonction logarithme népérien est définie sur ]0; +∞[ par : ......... Autrement dit, pour tout x strictement positif, Variations et limites Relation fonctionnelle ..................... Compléments Logarithmes décimaux On dit que la fonction ln est la . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . de la fonction exp. Ainsi : ln 1 = 0 puisque e0 = 1 et ln e = 1 puisque e1 = e. La fonction logarithme népérien 1- Définition- La fonction logarithme népérien Définition Définition et propriétés Définition Définition Propriété La fonction logarithme népérien est définie sur ]0; +∞[ par : x 7−→ ln x. Autrement dit, pour tout x strictement positif, Variations et limites Relation fonctionnelle ..................... Compléments Logarithmes décimaux On dit que la fonction ln est la . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . de la fonction exp. Ainsi : ln 1 = 0 puisque e0 = 1 et ln e = 1 puisque e1 = e. La fonction logarithme népérien 1- Définition- La fonction logarithme népérien Définition Définition et propriétés Définition Définition Propriété La fonction logarithme népérien est définie sur ]0; +∞[ par : x 7−→ ln x. Autrement dit, pour tout x strictement positif, Variations et limites Relation fonctionnelle ..................... Compléments Logarithmes décimaux On dit que la fonction ln est la . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . de la fonction exp. Ainsi : ln 1 = 0 puisque e0 = 1 et ln e = 1 puisque e1 = e. La fonction logarithme népérien 1- Définition- La fonction logarithme népérien Définition Définition et propriétés Définition Définition Propriété Variations et limites Relation fonctionnelle La fonction logarithme népérien est définie sur ]0; +∞[ par : x 7−→ ln x. Autrement dit, pour tout x strictement positif, y = ln x ⇐⇒ ey = x Compléments Logarithmes décimaux On dit que la fonction ln est la . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . de la fonction exp. Ainsi : ln 1 = 0 puisque e0 = 1 et ln e = 1 puisque e1 = e. La fonction logarithme népérien 1- Définition- La fonction logarithme népérien Définition Définition et propriétés Définition Définition Propriété Variations et limites Relation fonctionnelle La fonction logarithme népérien est définie sur ]0; +∞[ par : x 7−→ ln x. Autrement dit, pour tout x strictement positif, y = ln x ⇐⇒ ey = x Compléments Logarithmes décimaux On dit que la fonction ln est la . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . de la fonction exp. Ainsi : ln 1 = 0 puisque e0 = 1 et ln e = 1 puisque e1 = e. La fonction logarithme népérien 1- Définition- La fonction logarithme népérien Définition Définition et propriétés Définition Définition Propriété Variations et limites Relation fonctionnelle La fonction logarithme népérien est définie sur ]0; +∞[ par : x 7−→ ln x. Autrement dit, pour tout x strictement positif, y = ln x ⇐⇒ ey = x Compléments Logarithmes décimaux On dit que la fonction ln est la fonction réciproque de la fonction exp. Ainsi : ln 1 = 0 puisque e0 = 1 et ln e = 1 puisque e1 = e. La fonction logarithme népérien 1- Définition- La fonction logarithme népérien Définition Définition et propriétés Définition Définition Propriété Variations et limites Relation fonctionnelle La fonction logarithme népérien est définie sur ]0; +∞[ par : x 7−→ ln x. Autrement dit, pour tout x strictement positif, y = ln x ⇐⇒ ey = x Compléments Logarithmes décimaux On dit que la fonction ln est la fonction réciproque de la fonction exp. Ainsi : ln 1 = 0 puisque e0 = 1 et ln e = 1 puisque e1 = e. La fonction logarithme népérien 1- Définition- La fonction logarithme népérien Définition et propriétés Définition Définition Propriété Variations et limites 1 De plus : si ln x = y alors x = ey et = e−y soit ln x On obtient donc, pour tout réel x strictement positif : Relation fonctionnelle Compléments ............ Logarithmes décimaux La fonction logarithme népérien 1 x ! = −y . 1- Définition- La fonction logarithme népérien Définition et propriétés Définition Définition Propriété Variations et limites 1 De plus : si ln x = y alors x = ey et = e−y soit ln x On obtient donc, pour tout réel x strictement positif : Relation fonctionnelle Compléments ............ Logarithmes décimaux La fonction logarithme népérien 1 x ! = −y . 1- Définition- La fonction logarithme népérien Définition et propriétés Définition Définition Propriété Variations et limites 1 De plus : si ln x = y alors x = ey et = e−y soit ln x On obtient donc, pour tout réel x strictement positif : Relation fonctionnelle Compléments Logarithmes décimaux ln 1 = − ln x x La fonction logarithme népérien 1 x ! = −y . 1- Propriété- La fonction logarithme népérien Définition et propriétés Définition Définition Propriété Variations et limites Relation fonctionnelle Compléments Propriété Pour tout réel x, ln(ex ) = x et pour tout réel x strictement positif, eln x = x Logarithmes décimaux La fonction logarithme népérien 1 - Exercices : Savoir Faire (livre)- La fonction logarithme népérien Définition et propriétés Définition Définition Propriété Variations et limites Relation fonctionnelle Compléments Logarithmes décimaux Équations et inéquations Livre Indice BORDAS - Page 137 Exercice 39, 42, 43 et 44 page 146 La fonction logarithme népérien 2- Propriété- La fonction logarithme népérien Définition et propriétés Propriété Variations et limites La fonction logarithme népérien est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................ Propriété Théorème Théorème Tableau de variation et représentation graphique Relation fonctionnelle Compléments Logarithmes décimaux Démonstration partielle On admet que la fonction ln est continue et dérivable sur ]0; +∞[. Si on pose f (x) = exp(ln x) = x, alors f 0 (x) =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Or f 0 (x) = 1, d’où ln0 (x) =. . . La fonction logarithme népérien 2- Propriété- La fonction logarithme népérien Définition et propriétés Variations et limites Propriété Théorème Théorème Propriété La fonction logarithme népérien est continue et dérivable sur 1 ]0; +∞[ et ln0 (x) = . x Tableau de variation et représentation graphique Relation fonctionnelle Compléments Logarithmes décimaux Démonstration partielle On admet que la fonction ln est continue et dérivable sur ]0; +∞[. Si on pose f (x) = exp(ln x) = x, alors f 0 (x) =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Or f 0 (x) = 1, d’où ln0 (x) =. . . La fonction logarithme népérien 2- Propriété- La fonction logarithme népérien Définition et propriétés Variations et limites Propriété Théorème Théorème Propriété La fonction logarithme népérien est continue et dérivable sur 1 ]0; +∞[ et ln0 (x) = . x Tableau de variation et représentation graphique Relation fonctionnelle Compléments Logarithmes décimaux Démonstration partielle On admet que la fonction ln est continue et dérivable sur ]0; +∞[. Si on pose f (x) = exp(ln x) = x, alors f 0 (x) =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Or f 0 (x) = 1, d’où ln0 (x) =. . . La fonction logarithme népérien 2- Propriété- La fonction logarithme népérien Définition et propriétés Variations et limites Propriété Théorème Théorème Propriété La fonction logarithme népérien est continue et dérivable sur 1 ]0; +∞[ et ln0 (x) = . x Tableau de variation et représentation graphique Relation fonctionnelle Compléments Logarithmes décimaux Démonstration partielle On admet que la fonction ln est continue et dérivable sur ]0; +∞[. Si on pose f (x) = exp(ln x) = x, alors f 0 (x) =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Or f 0 (x) = 1, d’où ln0 (x) =. . . La fonction logarithme népérien 2- Propriété- La fonction logarithme népérien Définition et propriétés Variations et limites Propriété Théorème Théorème Propriété La fonction logarithme népérien est continue et dérivable sur 1 ]0; +∞[ et ln0 (x) = . x Tableau de variation et représentation graphique Relation fonctionnelle Compléments Logarithmes décimaux Démonstration partielle On admet que la fonction ln est continue et dérivable sur ]0; +∞[. Si on pose f (x) = exp(ln x) = x, alors f 0 (x) =ln0 (x) × exp(ln x) = ln0 (x) × x. Or f 0 (x) = 1, d’où ln0 (x) =. . . La fonction logarithme népérien 2- Propriété- La fonction logarithme népérien Définition et propriétés Variations et limites Propriété Théorème Théorème Propriété La fonction logarithme népérien est continue et dérivable sur 1 ]0; +∞[ et ln0 (x) = . x Tableau de variation et représentation graphique Relation fonctionnelle Compléments Logarithmes décimaux Démonstration partielle On admet que la fonction ln est continue et dérivable sur ]0; +∞[. Si on pose f (x) = exp(ln x) = x, alors f 0 (x) =ln0 (x) × exp(ln x) = ln0 (x) × x. Or f 0 (x) = 1, d’où ln0 (x) =. . . La fonction logarithme népérien 2- Propriété- La fonction logarithme népérien Définition et propriétés Variations et limites Propriété Théorème Propriété La fonction logarithme népérien est continue et dérivable sur 1 ]0; +∞[ et ln0 (x) = . x Théorème Tableau de variation et représentation graphique Relation fonctionnelle Compléments Logarithmes décimaux Démonstration partielle On admet que la fonction ln est continue et dérivable sur ]0; +∞[. Si on pose f (x) = exp(ln x) = x, alors f 0 (x) =ln0 (x) × exp(ln x) = ln0 (x) × x. 1 Or f 0 (x) = 1, d’où ln0 (x) = . x La fonction logarithme népérien 2- Théorème- La fonction logarithme népérien Définition et propriétés Variations et limites Propriété Théorème Théorème Tableau de variation et représentation graphique Relation fonctionnelle Compléments Logarithmes décimaux Théorème La fonction logarithme népérien est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............... 1 1 et > 0 pour tout x > 0 ; puisque sa dérivée est x x strictement positive sur ]0; +∞[, on conclut que la fonction ln est strictement croissante sur ]0; +∞[. ln0 (x) = La fonction logarithme népérien 2- Théorème- La fonction logarithme népérien Définition et propriétés Variations et limites Propriété Théorème Théorème Tableau de variation et représentation graphique Relation fonctionnelle Compléments Logarithmes décimaux Théorème La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur ]0; +∞[. 1 1 et > 0 pour tout x > 0 ; puisque sa dérivée est x x strictement positive sur ]0; +∞[, on conclut que la fonction ln est strictement croissante sur ]0; +∞[. ln0 (x) = La fonction logarithme népérien 2- Théorème- La fonction logarithme népérien Définition et propriétés Variations et limites Propriété Théorème Théorème Tableau de variation et représentation graphique Relation fonctionnelle Compléments Logarithmes décimaux Théorème La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur ]0; +∞[. 1 1 et > 0 pour tout x > 0 ; puisque sa dérivée est x x strictement positive sur ]0; +∞[, on conclut que la fonction ln est strictement croissante sur ]0; +∞[. ln0 (x) = La fonction logarithme népérien 2- Théorème- La fonction logarithme népérien Définition et propriétés Variations et limites Propriété Corollaire Pour tout réels a et b strictement positifs, Théorème Théorème Tableau de variation et représentation graphique ................................................ Relation fonctionnelle Compléments Logarithmes décimaux En particulier : 0 < x < 1 équivaut à ln x < 0 et x > 1 équivaut à ln x > 0. La fonction logarithme népérien 2- Théorème- La fonction logarithme népérien Définition et propriétés Variations et limites Propriété Corollaire Pour tout réels a et b strictement positifs, Théorème Théorème Tableau de variation et représentation graphique a < b ⇐⇒ ln a < ln b et a = b ⇐⇒ ln a = ln b Relation fonctionnelle Compléments Logarithmes décimaux En particulier : 0 < x < 1 équivaut à ln x < 0 et x > 1 équivaut à ln x > 0. La fonction logarithme népérien 2- Théorème- La fonction logarithme népérien Définition et propriétés Variations et limites Propriété Corollaire Pour tout réels a et b strictement positifs, Théorème Théorème Tableau de variation et représentation graphique a < b ⇐⇒ ln a < ln b et a = b ⇐⇒ ln a = ln b Relation fonctionnelle Compléments Logarithmes décimaux En particulier : 0 < x < 1 équivaut à ln x < 0 et x > 1 équivaut à ln x > 0. La fonction logarithme népérien 2- Théorème- La fonction logarithme népérien Définition et propriétés Théorème lim x−→+∞ ln x = . . . . . . et lim ln x = . . . . . . x−→0 x>0 Variations et limites Propriété Théorème Théorème Tableau de variation et représentation graphique Relation fonctionnelle Compléments Logarithmes décimaux Démonstration On utilise la définition d’une limite infinie à l’infini : . . . . . . . . . . . . ......................................................... ................................................ 1 Ensuite : lim ln x = lim − ln ; x−→0 x−→0 x x>0 x>0 or, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Donc, par composition, on obtient . . . . . . . . . . . . . . . . . . La fonction logarithme népérien 2- Théorème- La fonction logarithme népérien Définition et propriétés Théorème lim x−→+∞ ln x = + ∞ et lim ln x = . . . . . . x−→0 x>0 Variations et limites Propriété Théorème Théorème Tableau de variation et représentation graphique Relation fonctionnelle Compléments Logarithmes décimaux Démonstration On utilise la définition d’une limite infinie à l’infini : . . . . . . . . . . . . ......................................................... ................................................ 1 Ensuite : lim ln x = lim − ln ; x−→0 x−→0 x x>0 x>0 or, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Donc, par composition, on obtient . . . . . . . . . . . . . . . . . . La fonction logarithme népérien 2- Théorème- La fonction logarithme népérien Définition et propriétés Théorème lim x−→+∞ ln x = + ∞ et lim ln x = . . . . . . x−→0 x>0 Variations et limites Propriété Théorème Théorème Tableau de variation et représentation graphique Relation fonctionnelle Compléments Logarithmes décimaux Démonstration On utilise la définition d’une limite infinie à l’infini : . . . . . . . . . . . . ......................................................... ................................................ 1 Ensuite : lim ln x = lim − ln ; x−→0 x−→0 x x>0 x>0 or, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Donc, par composition, on obtient . . . . . . . . . . . . . . . . . . La fonction logarithme népérien 2- Théorème- La fonction logarithme népérien Définition et propriétés Théorème lim x−→+∞ ln x = + ∞ et lim ln x = − ∞ x−→0 x>0 Variations et limites Propriété Théorème Théorème Tableau de variation et représentation graphique Relation fonctionnelle Compléments Logarithmes décimaux Démonstration On utilise la définition d’une limite infinie à l’infini : . . . . . . . . . . . . ......................................................... ................................................ 1 Ensuite : lim ln x = lim − ln ; x−→0 x−→0 x x>0 x>0 or, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Donc, par composition, on obtient . . . . . . . . . . . . . . . . . . La fonction logarithme népérien 2- Théorème- La fonction logarithme népérien Définition et propriétés Théorème lim x−→+∞ ln x = + ∞ et lim ln x = − ∞ x−→0 x>0 Variations et limites Propriété Théorème Théorème Tableau de variation et représentation graphique Relation fonctionnelle Compléments Logarithmes décimaux Démonstration On utilise la définition d’une limite infinie à l’infini : . . . . . . . . . . . . ......................................................... ................................................ 1 Ensuite : lim ln x = lim − ln ; x−→0 x−→0 x x>0 x>0 or, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Donc, par composition, on obtient . . . . . . . . . . . . . . . . . . La fonction logarithme népérien 2- Théorème- La fonction logarithme népérien Définition et propriétés Théorème lim x−→+∞ ln x = + ∞ et lim ln x = − ∞ x−→0 x>0 Variations et limites Propriété Théorème Théorème Tableau de variation et représentation graphique Relation fonctionnelle Compléments Logarithmes décimaux Démonstration On utilise la définition d’une limite infinie à l’infini : quel que soit le réel A, si x > eA alors ln x > A ; donc l’intervalle ]A; +∞[ contient toutes les valeurs de ln x pour x assez grand. 1 Ensuite : lim ln x = lim − ln ; x−→0 x−→0 x x>0 x>0 or, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Donc, par composition, on obtient . . . . . . . . . . . . . . . . . . La fonction logarithme népérien 2- Théorème- La fonction logarithme népérien Définition et propriétés Théorème lim x−→+∞ ln x = + ∞ et lim ln x = − ∞ x−→0 x>0 Variations et limites Propriété Théorème Théorème Tableau de variation et représentation graphique Relation fonctionnelle Compléments Logarithmes décimaux Démonstration On utilise la définition d’une limite infinie à l’infini : quel que soit le réel A, si x > eA alors ln x > A ; donc l’intervalle ]A; +∞[ contient toutes les valeurs de ln x pour x assez grand. 1 Ensuite : lim ln x = lim − ln ; x−→0 x−→0 x x>0 x>0 or, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Donc, par composition, on obtient . . . . . . . . . . . . . . . . . . La fonction logarithme népérien 2- Théorème- La fonction logarithme népérien Théorème lim Définition et propriétés x−→+∞ ln x = + ∞ lim ln x = − ∞ et x−→0 x>0 Variations et limites Propriété Théorème Théorème Tableau de variation et représentation graphique Relation fonctionnelle Compléments Logarithmes décimaux Démonstration On utilise la définition d’une limite infinie à l’infini : quel que soit le réel A, si x > eA alors ln x > A ; donc l’intervalle ]A; +∞[ contient toutes les valeurs de ln x pour x assez grand. 1 Ensuite : lim ln x = lim − ln ; x−→0 x−→0 x x>0 x>0 1 or, lim = +∞ et lim − ln X = −∞ x−→0 x X −→+∞ x>0 Donc, par composition, on obtient . . . . . . . . . . . . . . . . . . La fonction logarithme népérien 2- Théorème- La fonction logarithme népérien Théorème lim Définition et propriétés x−→+∞ ln x = + ∞ lim ln x = − ∞ et x−→0 x>0 Variations et limites Propriété Théorème Théorème Tableau de variation et représentation graphique Relation fonctionnelle Compléments Logarithmes décimaux Démonstration On utilise la définition d’une limite infinie à l’infini : quel que soit le réel A, si x > eA alors ln x > A ; donc l’intervalle ]A; +∞[ contient toutes les valeurs de ln x pour x assez grand. 1 Ensuite : lim ln x = lim − ln ; x−→0 x−→0 x x>0 x>0 1 or, lim = +∞ et lim − ln X = −∞ x−→0 x X −→+∞ x>0 Donc, par composition, on obtient . . . . . . . . . . . . . . . . . . La fonction logarithme népérien 2- Théorème- La fonction logarithme népérien Théorème lim x−→+∞ Définition et propriétés ln x = + ∞ lim ln x = − ∞ et x−→0 x>0 Variations et limites Propriété Théorème Démonstration Théorème Tableau de variation et représentation graphique Relation fonctionnelle Compléments Logarithmes décimaux On utilise la définition d’une limite infinie à l’infini : quel que soit le réel A, si x > eA alors ln x > A ; donc l’intervalle ]A; +∞[ contient toutes les valeurs de ln x pour x assez grand. 1 Ensuite : lim ln x = lim − ln ; x−→0 x−→0 x x>0 x>0 1 or, lim = +∞ et lim − ln X = −∞ x−→0 x X −→+∞ x>0 Donc, par composition, on obtient lim ln x = −∞. x−→0 x>0 La fonction logarithme népérien 2- Tableau de variation et représentation graphique- La fonction logarithme népérien Définition et propriétés Variations et limites On construit le tableau de variation à l’aide des résultats précédents. Puisque la fonction ln est la réciproque de la fonction exp, les courbes représentatives de ces deux fonctions sont symétriques par rapport à la droite d’équation y = x. Propriété Théorème Théorème Tableau de variation et représentation graphique Relation fonctionnelle Compléments Logarithmes décimaux La courbe passe par les points de coordonnées (1; 0) et (e; 1). La tangente à la courbe au point d’abscisse 1 a pour coefficient directeur ln0 (1) = 1. Puisque lim ln x = −∞, la courbe représentative de la fonction x−→0 x>0 logarithme népérien admet une asymptote d’équation x = 0, soit l’axe des ordonnées. La fonction logarithme népérien 2- Tableau de variation et représentation graphique- La fonction logarithme népérien Fonction logarithme népérien Définition et propriétés Variations et limites Propriété Théorème Théorème Tableau de variation et représentation graphique Relation fonctionnelle x f (x) = 0 0 1 x + +∞ +∞ f (x) = ln x −∞ Compléments Logarithmes décimaux La fonction logarithme népérien 2- Tableau de variation et représentation graphique- La fonction logarithme népérien Fonction logarithme népérien Définition et propriétés Variations et limites Propriété Théorème Théorème Tableau de variation et représentation graphique Relation fonctionnelle x f (x) = 0 0 1 x + +∞ +∞ f (x) = ln x −∞ Compléments Logarithmes décimaux La fonction logarithme népérien 2- Tableau de variation et représentation graphique- La fonction logarithme népérien Fonction logarithme népérien Définition et propriétés Variations et limites Propriété Théorème Théorème Tableau de variation et représentation graphique Relation fonctionnelle x f (x) = 0 0 1 x + +∞ +∞ f (x) = ln x −∞ Compléments Logarithmes décimaux La fonction logarithme népérien 2- Tableau de variation et représentation graphique- La fonction logarithme népérien Fonction logarithme népérien Définition et propriétés Variations et limites Propriété Théorème Théorème Tableau de variation et représentation graphique Relation fonctionnelle x f (x) = 0 0 1 x + +∞ +∞ f (x) = ln x −∞ Compléments Logarithmes décimaux La fonction logarithme népérien 2- Tableau de variation et représentation graphique- La fonction logarithme népérien Fonction logarithme népérien Définition et propriétés Variations et limites Propriété Théorème Théorème Tableau de variation et représentation graphique Relation fonctionnelle x f (x) = 0 0 1 x + +∞ +∞ f (x) = ln x −∞ Compléments Logarithmes décimaux La fonction logarithme népérien 2- Tableau de variation et représentation graphique- La fonction logarithme népérien Fonction logarithme népérien Définition et propriétés Variations et limites Propriété Théorème Théorème Tableau de variation et représentation graphique Relation fonctionnelle x f (x) = 0 0 1 x + +∞ +∞ f (x) = ln x −∞ Compléments Logarithmes décimaux La fonction logarithme népérien 2- Tableau de variation et représentation graphique- La fonction logarithme népérien Définition et propriétés Variations et limites Propriété Théorème Théorème Tableau de variation et représentation graphique Relation fonctionnelle Compléments Logarithmes décimaux F IGURE – Courbe représentative de la fonction ln La fonction logarithme népérien 2- Tableau de variation et représentation graphique- La fonction logarithme népérien Définition et propriétés Variations et limites Propriété Théorème Théorème Tableau de variation et représentation graphique Relation fonctionnelle Compléments Logarithmes décimaux F IGURE – Courbe représentative de la fonction ln La fonction logarithme népérien 2 - Exercices : Savoir Faire (livre)- La fonction logarithme népérien Définition et propriétés Variations et limites Propriété Théorème Variation Théorème Tableau de variation et représentation graphique Relation fonctionnelle Livre Indice BORDAS - Page 137 Exercice 55 et 57 page 147 Compléments Logarithmes décimaux La fonction logarithme népérien 3- Théorème- La fonction logarithme népérien Définition et propriétés Variations et limites Relation fonctionnelle Théorème Propriétés La fonction ln est la réciproque de la fonction exp. On peut donc déduire une relation fonctionnelle pour la fonction ln à partir de celle existant pour la fonction exp : pour tout réels x et y , exp(x) exp(y ) = exp(x + y ) donc ln(exp(x) exp(y )) = ln(exp(x + y )) = x + y ; si on pose a = exp(x) et b = exp(y ) , soit x = ln a et y = ln b on obtient : Compléments Logarithmes décimaux Théorème Quels que soient les réels a et b strictement positifs : ........................ La fonction logarithme népérien 3- Théorème- La fonction logarithme népérien Définition et propriétés Variations et limites Relation fonctionnelle Théorème Propriétés La fonction ln est la réciproque de la fonction exp. On peut donc déduire une relation fonctionnelle pour la fonction ln à partir de celle existant pour la fonction exp : pour tout réels x et y , exp(x) exp(y ) = exp(x + y ) donc ln(exp(x) exp(y )) = ln(exp(x + y )) = x + y ; si on pose a = exp(x) et b = exp(y ) , soit x = ln a et y = ln b on obtient : Compléments Logarithmes décimaux Théorème Quels que soient les réels a et b strictement positifs : ln(a × b) = ln a + ln b La fonction logarithme népérien 3- Théorème- La fonction logarithme népérien Définition et propriétés Variations et limites Relation fonctionnelle Théorème Propriétés Compléments Logarithmes décimaux Remarque Si a = b, la relation fonctionnelle nous donne : ln(a2 ) = 2 ln a. √ √ On peut alors en déduire : ln x = ln(( x)2 ) = 2 ln( x) , √ soit ln( x) = 1 2 ln x. La fonction logarithme népérien 3- Propriétés- La fonction logarithme népérien Définition et propriétés Variations et limites Relation fonctionnelle Propriétés Quels que soient les réels a, b strictement positifs et l’entier relatif n : Théorème Propriétés Compléments ..................... ..................... Logarithmes décimaux ..................... La fonction logarithme népérien 3- Propriétés- La fonction logarithme népérien Définition et propriétés Variations et limites Relation fonctionnelle Théorème Propriétés Compléments Logarithmes décimaux Propriétés Quels que soient les réels a, b strictement positifs et l’entier relatif n : a 1 = ln a − ln b ln = − ln b ln b b ln(an ) = n ln a La fonction logarithme népérien 3- Propriétés- La fonction logarithme népérien Définition et propriétés Variations et limites Relation fonctionnelle Démonstration • La deuxième propriété a déjà été prouvée. • pour la première propriété, on utilise la relation fonctionnelle : Théorème Propriétés Compléments Logarithmes décimaux ln a = .................................... b La fonction logarithme népérien 3- Propriétés- La fonction logarithme népérien Définition et propriétés Variations et limites Relation fonctionnelle Démonstration • La deuxième propriété a déjà été prouvée. • pour la première propriété, on utilise la relation fonctionnelle : Théorème Propriétés Compléments Logarithmes décimaux ln a = .................................... b La fonction logarithme népérien 3- Propriétés- La fonction logarithme népérien Définition et propriétés Variations et limites Relation fonctionnelle Théorème Propriétés Compléments Logarithmes décimaux Démonstration • La deuxième propriété a déjà été prouvée. • pour la première propriété, on utilise la relation fonctionnelle : ! 1 1 a ln = ln a × = ln a + ln = ln a − ln b. b b b La fonction logarithme népérien 3- Propriétés- La fonction logarithme népérien Démonstration Définition et propriétés Variations et limites pour la troisième propriété notée Pn : " ln(an ) = n ln a " ; nous allons d’abord démontrer par récurrence que Pn est vraie pour tout n ∈ N. Relation fonctionnelle Théorème Propriétés Initialisation : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Compléments Logarithmes décimaux Hérédité : supposons que la propriété est vraie pour un certain entier naturel k ; soit . . . . . . . . . . . . Alors, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................... ............................................. Conclusion : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La fonction logarithme népérien 3- Propriétés- La fonction logarithme népérien Démonstration Définition et propriétés Variations et limites pour la troisième propriété notée Pn : " ln(an ) = n ln a " ; nous allons d’abord démontrer par récurrence que Pn est vraie pour tout n ∈ N. Relation fonctionnelle Théorème Propriétés Initialisation : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Compléments Logarithmes décimaux Hérédité : supposons que la propriété est vraie pour un certain entier naturel k ; soit . . . . . . . . . . . . Alors, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................... ............................................. Conclusion : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La fonction logarithme népérien 3- Propriétés- La fonction logarithme népérien Démonstration Définition et propriétés Variations et limites pour la troisième propriété notée Pn : " ln(an ) = n ln a " ; nous allons d’abord démontrer par récurrence que Pn est vraie pour tout n ∈ N. Relation fonctionnelle Théorème Propriétés Initialisation : ln(a0 ) = ln 1 = 0 et 0 ln a = 0 donc P0 est vraie. Compléments Logarithmes décimaux Hérédité : supposons que la propriété est vraie pour un certain entier naturel k ; soit . . . . . . . . . . . . Alors, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................... ............................................. Conclusion : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La fonction logarithme népérien 3- Propriétés- La fonction logarithme népérien Démonstration Définition et propriétés Variations et limites pour la troisième propriété notée Pn : " ln(an ) = n ln a " ; nous allons d’abord démontrer par récurrence que Pn est vraie pour tout n ∈ N. Relation fonctionnelle Théorème Propriétés Initialisation : ln(a0 ) = ln 1 = 0 et 0 ln a = 0 donc P0 est vraie. Compléments Logarithmes décimaux Hérédité : supposons que la propriété est vraie pour un certain entier naturel k ; soit . . . . . . . . . . . . Alors, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................... ............................................. Conclusion : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La fonction logarithme népérien 3- Propriétés- La fonction logarithme népérien Démonstration Définition et propriétés Variations et limites pour la troisième propriété notée Pn : " ln(an ) = n ln a " ; nous allons d’abord démontrer par récurrence que Pn est vraie pour tout n ∈ N. Relation fonctionnelle Théorème Propriétés Initialisation : ln(a0 ) = ln 1 = 0 et 0 ln a = 0 donc P0 est vraie. Compléments Logarithmes décimaux Hérédité : supposons que la propriété est vraie pour un certain entier naturel k ; soit ln(ak ) = k ln a. Alors, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................... ............................................. Conclusion : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La fonction logarithme népérien 3- Propriétés- La fonction logarithme népérien Démonstration Définition et propriétés Variations et limites pour la troisième propriété notée Pn : " ln(an ) = n ln a " ; nous allons d’abord démontrer par récurrence que Pn est vraie pour tout n ∈ N. Relation fonctionnelle Théorème Propriétés Initialisation : ln(a0 ) = ln 1 = 0 et 0 ln a = 0 donc P0 est vraie. Compléments Logarithmes décimaux Hérédité : supposons que la propriété est vraie pour un certain entier naturel k ; soit ln(ak ) = k ln a. Alors, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................... ............................................. Conclusion : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La fonction logarithme népérien 3- Propriétés- La fonction logarithme népérien Démonstration Définition et propriétés Variations et limites pour la troisième propriété notée Pn : " ln(an ) = n ln a " ; nous allons d’abord démontrer par récurrence que Pn est vraie pour tout n ∈ N. Relation fonctionnelle Théorème Propriétés Initialisation : ln(a0 ) = ln 1 = 0 et 0 ln a = 0 donc P0 est vraie. Compléments Logarithmes décimaux Hérédité : supposons que la propriété est vraie pour un certain entier naturel k ; soit ln(ak ) = k ln a. Alors, ln(ak +1 ) = ln(ak × a) = ln(ak ) + ln a = k ln a + ln a d’après l’hypothèse de récurrence, donc ln(ak +1 ) = (k + 1) ln a et Pk +1 est vraie. Conclusion : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La fonction logarithme népérien 3- Propriétés- La fonction logarithme népérien Démonstration Définition et propriétés Variations et limites pour la troisième propriété notée Pn : " ln(an ) = n ln a " ; nous allons d’abord démontrer par récurrence que Pn est vraie pour tout n ∈ N. Relation fonctionnelle Théorème Propriétés Initialisation : ln(a0 ) = ln 1 = 0 et 0 ln a = 0 donc P0 est vraie. Compléments Logarithmes décimaux Hérédité : supposons que la propriété est vraie pour un certain entier naturel k ; soit ln(ak ) = k ln a. Alors, ln(ak +1 ) = ln(ak × a) = ln(ak ) + ln a = k ln a + ln a d’après l’hypothèse de récurrence, donc ln(ak +1 ) = (k + 1) ln a et Pk +1 est vraie. Conclusion : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La fonction logarithme népérien 3- Propriétés- La fonction logarithme népérien Définition et propriétés Variations et limites Relation fonctionnelle Théorème Propriétés Démonstration pour la troisième propriété notée Pn : " ln(an ) = n ln a " ; nous allons d’abord démontrer par récurrence que Pn est vraie pour tout n ∈ N. Initialisation : ln(a0 ) = ln 1 = 0 et 0 ln a = 0 donc P0 est vraie. Compléments Logarithmes décimaux Hérédité : supposons que la propriété est vraie pour un certain entier naturel k ; soit ln(ak ) = k ln a. Alors, ln(ak +1 ) = ln(ak × a) = ln(ak ) + ln a = k ln a + ln a d’après l’hypothèse de récurrence, donc ln(ak +1 ) = (k + 1) ln a et Pk +1 est vraie. Conclusion : Pn est vraie pour tout n ∈ N. La fonction logarithme népérien 3- Propriétés- La fonction logarithme népérien Définition et propriétés Variations et limites Démonstration Maintenant, si n est un entier relatif négatif, Relation fonctionnelle Théorème Propriétés Compléments Logarithmes décimaux ln(an ) = ln 1 = − ln(a−n ) a−n or (−n) ∈ N ; on peut donc écrire ln(a−n ) = (−n) ln a On en déduit que : ln(an ) = n ln a. La fonction logarithme népérien 3- Propriétés- La fonction logarithme népérien Définition et propriétés Variations et limites Démonstration Maintenant, si n est un entier relatif négatif, Relation fonctionnelle Théorème Propriétés Compléments Logarithmes décimaux ln(an ) = ln 1 = − ln(a−n ) a−n or (−n) ∈ N ; on peut donc écrire ln(a−n ) = (−n) ln a On en déduit que : ln(an ) = n ln a. La fonction logarithme népérien 3- Propriétés- La fonction logarithme népérien Définition et propriétés Variations et limites Démonstration Maintenant, si n est un entier relatif négatif, Relation fonctionnelle Théorème Propriétés Compléments Logarithmes décimaux ln(an ) = ln 1 = − ln(a−n ) a−n or (−n) ∈ N ; on peut donc écrire ln(a−n ) = (−n) ln a On en déduit que : ln(an ) = n ln a. La fonction logarithme népérien 3 - Exercices : Savoir Faire (livre)- La fonction logarithme népérien Définition et propriétés Variations et limites Relation fonctionnelle Théorème Propriétés Relation fonctionnelle Livre Indice BORDAS - Page 139 Compléments Logarithmes décimaux Exercice 65, 66, 69 et 71 pages 147 et 148 La fonction logarithme népérien 4- Calcul de limites- La fonction logarithme népérien Définition et propriétés Variations et limites Relation fonctionnelle Compléments Calcul de limites Calcul de dérivées Théorème ln x = ... x−→+∞ x lim et ln(1 + x) = ... x−→0 x lim Logarithmes décimaux La fonction logarithme népérien 4- Calcul de limites- La fonction logarithme népérien Définition et propriétés Variations et limites Relation fonctionnelle Compléments Calcul de limites Calcul de dérivées Théorème ln x =0 x−→+∞ x lim et ln(1 + x) = ... x−→0 x lim Logarithmes décimaux La fonction logarithme népérien 4- Calcul de limites- La fonction logarithme népérien Définition et propriétés Variations et limites Relation fonctionnelle Compléments Calcul de limites Calcul de dérivées Théorème ln x =0 x−→+∞ x lim et ln(1 + x) = ... x−→0 x lim Logarithmes décimaux La fonction logarithme népérien 4- Calcul de limites- La fonction logarithme népérien Définition et propriétés Variations et limites Relation fonctionnelle Compléments Calcul de limites Calcul de dérivées Théorème ln x =0 x−→+∞ x lim et ln(1 + x) =1 x−→0 x lim Logarithmes décimaux La fonction logarithme népérien 4- Calcul de limites- La fonction logarithme népérien Définition et propriétés Variations et limites Relation fonctionnelle Compléments Calcul de limites Calcul de dérivées Logarithmes décimaux Démonstration • On sait que pour tout a réel, a < exp(a) , donc pour tout a strictement positif, ln a ≤ a. (Croissance de la fonction √ √ ln). x ≤ x d’où On en déduit que pour tout x strictement positif ln √ √ 1 x et donc ln x ≤ 2 x. 2 ln x ≤ √ ln x 2 x Alors, pour tout x ≥ 1 : 0 ≤ ≤ , x x 2 ln x ≤√ . c’est-à-dire : 0 ≤ x x 2 De plus lim √ = 0 , donc par application du théorème des x→+∞ x ln x gendarmes, lim = 0. x→+∞ x La fonction logarithme népérien 4- Calcul de limites- La fonction logarithme népérien Définition et propriétés Variations et limites Relation fonctionnelle Compléments Calcul de limites Calcul de dérivées Logarithmes décimaux Démonstration • On sait que pour tout a réel, a < exp(a) , donc pour tout a strictement positif, ln a ≤ a. (Croissance de la fonction √ ln). √ On en déduit que pour tout x strictement positif ln x ≤ x d’où √ √ 1 x et donc ln x ≤ 2 x. 2 ln x ≤ √ ln x 2 x Alors, pour tout x ≥ 1 : 0 ≤ ≤ , x x 2 ln x ≤√ . c’est-à-dire : 0 ≤ x x 2 De plus lim √ = 0 , donc par application du théorème des x→+∞ x ln x gendarmes, lim = 0. x→+∞ x La fonction logarithme népérien 4- Calcul de limites- La fonction logarithme népérien Définition et propriétés Variations et limites Relation fonctionnelle Compléments Calcul de limites Calcul de dérivées Logarithmes décimaux Démonstration • On sait que pour tout a réel, a < exp(a) , donc pour tout a strictement positif, ln a ≤ a. (Croissance de la fonction √ ln). √ On en déduit que pour tout x strictement positif ln x ≤ x d’où √ √ 1 x et donc ln x ≤ 2 x. 2 ln x ≤ √ ln x 2 x Alors, pour tout x ≥ 1 : 0 ≤ ≤ , x x 2 ln x ≤√ . c’est-à-dire : 0 ≤ x x 2 De plus lim √ = 0 , donc par application du théorème des x→+∞ x ln x gendarmes, lim = 0. x→+∞ x La fonction logarithme népérien 4- Calcul de limites- La fonction logarithme népérien Définition et propriétés Variations et limites Relation fonctionnelle Compléments Calcul de limites Calcul de dérivées Logarithmes décimaux Démonstration • On sait que pour tout a réel, a < exp(a) , donc pour tout a strictement positif, ln a ≤ a. (Croissance de la fonction √ ln). √ On en déduit que pour tout x strictement positif ln x ≤ x d’où √ √ 1 x et donc ln x ≤ 2 x. 2 ln x ≤ √ ln x 2 x Alors, pour tout x ≥ 1 : 0 ≤ ≤ , x x 2 ln x ≤√ . c’est-à-dire : 0 ≤ x x 2 De plus lim √ = 0 , donc par application du théorème des x→+∞ x ln x gendarmes, lim = 0. x→+∞ x La fonction logarithme népérien 4- Calcul de limites- La fonction logarithme népérien Définition et propriétés Variations et limites Relation fonctionnelle Compléments Calcul de limites Calcul de dérivées Logarithmes décimaux Remarque On pouvait aussi écrire X ln x = = x exp(X ) 1 exp(X ) X , et appliquer les théorèmes sur la composition et l’inverse de limites. La fonction logarithme népérien 4- Calcul de limites- La fonction logarithme népérien Définition et propriétés Variations et limites Relation fonctionnelle Compléments Démonstration • ln(1 + x) ln(1 + x) − ln 1 = est x x ............................................. Calcul de limites Calcul de dérivées Logarithmes décimaux Sa limite quand x tend vers 0 est le . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............................. Donc lim x→0 ln(1 + x) ln(1 + x) − ln 1 = lim = ... x→0 x x La fonction logarithme népérien 4- Calcul de limites- La fonction logarithme népérien Définition et propriétés Variations et limites Relation fonctionnelle Compléments Démonstration • ln(1 + x) ln(1 + x) − ln 1 = est x x le taux d’accroissement de la fonction ln en 1. Calcul de limites Calcul de dérivées Logarithmes décimaux Sa limite quand x tend vers 0 est le . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............................. Donc lim x→0 ln(1 + x) ln(1 + x) − ln 1 = lim = ... x→0 x x La fonction logarithme népérien 4- Calcul de limites- La fonction logarithme népérien Définition et propriétés Variations et limites Relation fonctionnelle Compléments Démonstration • ln(1 + x) ln(1 + x) − ln 1 = est x x le taux d’accroissement de la fonction ln en 1. Calcul de limites Calcul de dérivées Logarithmes décimaux Sa limite quand x tend vers 0 est le . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............................. Donc lim x→0 ln(1 + x) ln(1 + x) − ln 1 = lim = ... x→0 x x La fonction logarithme népérien 4- Calcul de limites- La fonction logarithme népérien Définition et propriétés Variations et limites Relation fonctionnelle Compléments Démonstration • ln(1 + x) ln(1 + x) − ln 1 = est x x le taux d’accroissement de la fonction ln en 1. Calcul de limites Calcul de dérivées Logarithmes décimaux Sa limite quand x tend vers 0 est le nombre dérivé de la fonction ln en 1 qui est 1. Donc lim x→0 ln(1 + x) ln(1 + x) − ln 1 = lim = ... x→0 x x La fonction logarithme népérien 4- Calcul de limites- La fonction logarithme népérien Définition et propriétés Variations et limites Relation fonctionnelle Compléments Démonstration • ln(1 + x) ln(1 + x) − ln 1 = est x x le taux d’accroissement de la fonction ln en 1. Calcul de limites Calcul de dérivées Logarithmes décimaux Sa limite quand x tend vers 0 est le nombre dérivé de la fonction ln en 1 qui est 1. Donc lim x→0 ln(1 + x) ln(1 + x) − ln 1 = lim = ... x→0 x x La fonction logarithme népérien 4- Calcul de limites- La fonction logarithme népérien Définition et propriétés Variations et limites Relation fonctionnelle Compléments Démonstration • ln(1 + x) ln(1 + x) − ln 1 = est x x le taux d’accroissement de la fonction ln en 1. Calcul de limites Calcul de dérivées Logarithmes décimaux Sa limite quand x tend vers 0 est le nombre dérivé de la fonction ln en 1 qui est 1. Donc lim x→0 ln(1 + x) ln(1 + x) − ln 1 = lim =1. x→0 x x La fonction logarithme népérien 4- Calcul de dérivées- La fonction logarithme népérien Définition et propriétés Variations et limites Relation fonctionnelle Compléments Calcul de limites Calcul de dérivées On montre que : Propriété si u est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I de R, alors la fonction composée ln ◦u, notée aussi ln u, est dérivable sur I et (ln ◦u)0 (x) = . . . . . . Logarithmes décimaux Par exemple, on obtient pour tout x > − ba : (ln(ax + b))0 = . . . . . . La fonction logarithme népérien 4- Calcul de dérivées- La fonction logarithme népérien Définition et propriétés Variations et limites Relation fonctionnelle On montre que : Propriété si u est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I de R, alors la fonction composée ln ◦u, notée aussi ln u, est dérivable sur I et Compléments Calcul de limites Calcul de dérivées Logarithmes décimaux (ln ◦u)0 (x) = u 0 (x) u(x) Par exemple, on obtient pour tout x > − ba : (ln(ax + b))0 = . . . . . . La fonction logarithme népérien 4- Calcul de dérivées- La fonction logarithme népérien Définition et propriétés Variations et limites Relation fonctionnelle On montre que : Propriété si u est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I de R, alors la fonction composée ln ◦u, notée aussi ln u, est dérivable sur I et Compléments Calcul de limites Calcul de dérivées Logarithmes décimaux (ln ◦u)0 (x) = u 0 (x) u(x) Par exemple, on obtient pour tout x > − ba : (ln(ax + b))0 = . . . . . . La fonction logarithme népérien 4- Calcul de dérivées- La fonction logarithme népérien On montre que : Propriété Définition et propriétés Variations et limites Relation fonctionnelle si u est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I de R, alors la fonction composée ln ◦u, notée aussi ln u, est dérivable sur I et Compléments Calcul de limites Calcul de dérivées (ln ◦u)0 (x) = u 0 (x) u(x) Logarithmes décimaux Par exemple, on obtient pour tout x > − ba : (ln(ax + b))0 = a ax + b La fonction logarithme népérien 4- Calcul de dérivées- La fonction logarithme népérien Définition et propriétés Variations et limites Relation fonctionnelle Remarque u étant strictement positive, le signe de (ln u)0 est le même que celui de u 0 . Compléments Calcul de limites Calcul de dérivées Logarithmes décimaux Cette dérivée satisfait à la formule générale : (f (u(x))0 = u 0 (x) × f 0 (u(x)) La fonction logarithme népérien 4- Calcul de dérivées- La fonction logarithme népérien Définition et propriétés Variations et limites Relation fonctionnelle Remarque u étant strictement positive, le signe de (ln u)0 est le même que celui de u 0 . Compléments Calcul de limites Calcul de dérivées Logarithmes décimaux Cette dérivée satisfait à la formule générale : (f (u(x))0 = u 0 (x) × f 0 (u(x)) La fonction logarithme népérien 4- Exercices : Savoir Faire (livre)- La fonction logarithme népérien Définition et propriétés Variations et limites Relation fonctionnelle Compléments Calcul de limites Opérations sur les limites Livre Indice BORDAS - Page 141 et 143 Calcul de dérivées Logarithmes décimaux Exercice 81, 82, 85, 86 92 et 95 page 26 La fonction logarithme népérien 5- Définition- La fonction logarithme décimal Définition et propriétés Variations et limites Relation fonctionnelle Définition On appelle fonction logarithme décimal la fonction notée log , définie sur ]0; +∞[ par : Compléments Logarithmes décimaux ............... Définition Propriétés Exercices : Savoir Faire (livre) En particulier : log 1 = . . . , log 10 = . . .. La fonction logarithme décimal 5- Définition- La fonction logarithme décimal Définition et propriétés Variations et limites Relation fonctionnelle Définition On appelle fonction logarithme décimal la fonction notée log , définie sur ]0; +∞[ par : Compléments Logarithmes décimaux log x = Définition ln x ln 10 Propriétés Exercices : Savoir Faire (livre) En particulier : log 1 = . . . , log 10 = . . .. La fonction logarithme décimal 5- Définition- La fonction logarithme décimal Définition et propriétés Variations et limites Relation fonctionnelle Définition On appelle fonction logarithme décimal la fonction notée log , définie sur ]0; +∞[ par : Compléments Logarithmes décimaux log x = Définition ln x ln 10 Propriétés Exercices : Savoir Faire (livre) En particulier : log 1 = . . . , log 10 = . . .. La fonction logarithme décimal 5- Définition- La fonction logarithme décimal Définition et propriétés Variations et limites Relation fonctionnelle Définition On appelle fonction logarithme décimal la fonction notée log , définie sur ]0; +∞[ par : Compléments Logarithmes décimaux log x = Définition ln x ln 10 Propriétés Exercices : Savoir Faire (livre) En particulier : log 1 = 0 , log 10 = . . .. La fonction logarithme décimal 5- Définition- La fonction logarithme décimal Définition et propriétés Variations et limites Relation fonctionnelle Définition On appelle fonction logarithme décimal la fonction notée log , définie sur ]0; +∞[ par : Compléments Logarithmes décimaux log x = Définition ln x ln 10 Propriétés Exercices : Savoir Faire (livre) En particulier : log 1 = 0 , log 10 = . . .. La fonction logarithme décimal 5- Définition- La fonction logarithme décimal Définition et propriétés Variations et limites Relation fonctionnelle Définition On appelle fonction logarithme décimal la fonction notée log , définie sur ]0; +∞[ par : Compléments Logarithmes décimaux log x = Définition ln x ln 10 Propriétés Exercices : Savoir Faire (livre) En particulier : log 1 = 0 , log 10 = 1. La fonction logarithme décimal 5- Propriétés- La fonction logarithme décimal Définition et propriétés Variations et limites Relation fonctionnelle Compléments Logarithmes décimaux Définition Propriétés Les propriétés de la fonction logarithme décimal se déduisent immédiatement de celles de la fonction ln. Par exemple, pour tout entier relatif n, log 10n = . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dérivée Variations Limites Relations fonctionnelles Exercices : Savoir Faire (livre) La fonction logarithme décimal 5- Propriétés- La fonction logarithme décimal Définition et propriétés Variations et limites Les propriétés de la fonction logarithme décimal se déduisent immédiatement de celles de la fonction ln. Relation fonctionnelle Compléments Par exemple, pour tout entier relatif n, Logarithmes décimaux Définition Propriétés Dérivée log 10n = n ln 10 ln 10n = =n ln 10 ln 10 Variations Limites Relations fonctionnelles Exercices : Savoir Faire (livre) La fonction logarithme décimal 5- Propriétés- Dérivée La fonction logarithme décimal Définition et propriétés Variations et limites Relation fonctionnelle Compléments Logarithmes décimaux Dérivée La fonction logarithme décimal est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................ Définition Propriétés Dérivée Variations Limites Relations fonctionnelles Exercices : Savoir Faire (livre) La fonction logarithme décimal 5- Propriétés- Dérivée La fonction logarithme décimal Définition et propriétés Variations et limites Relation fonctionnelle Compléments Logarithmes décimaux Définition Propriétés Dérivée La fonction logarithme décimal est continue et dérivable sur 1 ]0; +∞[ et log0 (x) = x ln 10 Dérivée Variations Limites Relations fonctionnelles Exercices : Savoir Faire (livre) La fonction logarithme décimal 5- Propriétés- Variations La fonction logarithme décimal Définition et propriétés Variations et limites Relation fonctionnelle Compléments Logarithmes décimaux Variations La fonction logarithme décimal est . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... Définition Propriétés Dérivée Variations Limites Relations fonctionnelles Exercices : Savoir Faire (livre) La fonction logarithme décimal 5- Propriétés- Variations La fonction logarithme décimal Définition et propriétés Variations et limites Relation fonctionnelle Variations Compléments La fonction logarithme décimal est strictement croissante sur ]0; +∞[. Logarithmes décimaux Définition Propriétés Dérivée Variations Limites Relations fonctionnelles Exercices : Savoir Faire (livre) La fonction logarithme décimal 5- Propriétés- Limites La fonction logarithme décimal Définition et propriétés Variations et limites Relation fonctionnelle Compléments Logarithmes décimaux Limites lim x−→+∞ log x = . . . . . . et lim log x = . . . . . . x−→0 x>0 Définition Propriétés Dérivée Variations Limites Relations fonctionnelles Exercices : Savoir Faire (livre) La fonction logarithme décimal 5- Propriétés- Limites La fonction logarithme décimal Définition et propriétés Variations et limites Relation fonctionnelle Compléments Logarithmes décimaux Limites lim x−→+∞ log x = + ∞ et lim log x = . . . . . . x−→0 x>0 Définition Propriétés Dérivée Variations Limites Relations fonctionnelles Exercices : Savoir Faire (livre) La fonction logarithme décimal 5- Propriétés- Limites La fonction logarithme décimal Définition et propriétés Variations et limites Relation fonctionnelle Compléments Logarithmes décimaux Limites lim x−→+∞ log x = + ∞ et lim log x = . . . . . . x−→0 x>0 Définition Propriétés Dérivée Variations Limites Relations fonctionnelles Exercices : Savoir Faire (livre) La fonction logarithme décimal 5- Propriétés- Limites La fonction logarithme décimal Définition et propriétés Variations et limites Relation fonctionnelle Compléments Logarithmes décimaux Limites lim x−→+∞ log x = + ∞ et lim log x = − ∞ x−→0 x>0 Définition Propriétés Dérivée Variations Limites Relations fonctionnelles Exercices : Savoir Faire (livre) La fonction logarithme décimal 5- Propriétés- Relations fonctionnelles La fonction logarithme décimal Définition et propriétés Variations et limites Relations fonctionnelles Quels que soient les réels a et b, strictement positifs : log(a × b) = . . . . . . . . . . . . Relation fonctionnelle Compléments Logarithmes décimaux Définition Propriétés Dérivée Variations Limites Relations fonctionnelles Quels que soient les réels a, b strictement positifs et l’entier relatif n : a 1 = ...... log = ............ log b b Exercices : Savoir Faire (livre) log(an ) = . . . . . . La fonction logarithme décimal 5- Propriétés- Relations fonctionnelles La fonction logarithme décimal Définition et propriétés Variations et limites Relations fonctionnelles Quels que soient les réels a et b, strictement positifs : log(a × b) = log a + log b Relation fonctionnelle Compléments Logarithmes décimaux Définition Propriétés Dérivée Variations Limites Relations fonctionnelles Quels que soient les réels a, b strictement positifs et l’entier relatif n : a 1 = ...... log = ............ log b b Exercices : Savoir Faire (livre) log(an ) = . . . . . . La fonction logarithme décimal 5- Propriétés- Relations fonctionnelles La fonction logarithme décimal Définition et propriétés Variations et limites Relations fonctionnelles Quels que soient les réels a et b, strictement positifs : log(a × b) = log a + log b Relation fonctionnelle Compléments Logarithmes décimaux Définition Propriétés Dérivée Variations Limites Relations fonctionnelles Quels que soient les réels a, b strictement positifs et l’entier relatif n : a 1 log = ...... log = ............ b b Exercices : Savoir Faire (livre) log(an ) = . . . . . . La fonction logarithme décimal 5- Propriétés- Relations fonctionnelles La fonction logarithme décimal Définition et propriétés Variations et limites Relations fonctionnelles Quels que soient les réels a et b, strictement positifs : log(a × b) = log a + log b Relation fonctionnelle Compléments Logarithmes décimaux Définition Propriétés Dérivée Variations Limites Relations fonctionnelles Quels que soient les réels a, b strictement positifs et l’entier relatif n : a 1 log = ...... log = log a − log b b b Exercices : Savoir Faire (livre) log(an ) = . . . . . . La fonction logarithme décimal 5- Propriétés- Relations fonctionnelles La fonction logarithme décimal Définition et propriétés Variations et limites Relations fonctionnelles Quels que soient les réels a et b, strictement positifs : log(a × b) = log a + log b Relation fonctionnelle Compléments Logarithmes décimaux Définition Propriétés Dérivée Variations Limites Relations fonctionnelles Quels que soient les réels a, b strictement positifs et l’entier relatif n : a 1 log = ...... log = log a − log b b b Exercices : Savoir Faire (livre) log(an ) = . . . . . . La fonction logarithme décimal 5- Propriétés- Relations fonctionnelles La fonction logarithme décimal Définition et propriétés Variations et limites Relations fonctionnelles Quels que soient les réels a et b, strictement positifs : log(a × b) = log a + log b Relation fonctionnelle Compléments Logarithmes décimaux Définition Propriétés Dérivée Variations Limites Relations fonctionnelles Quels que soient les réels a, b strictement positifs et l’entier relatif n : a 1 log = − log b log = log a − log b b b Exercices : Savoir Faire (livre) log(an ) = . . . . . . La fonction logarithme décimal 5- Propriétés- Relations fonctionnelles La fonction logarithme décimal Définition et propriétés Variations et limites Relations fonctionnelles Quels que soient les réels a et b, strictement positifs : log(a × b) = log a + log b Relation fonctionnelle Compléments Logarithmes décimaux Définition Propriétés Dérivée Variations Limites Relations fonctionnelles Quels que soient les réels a, b strictement positifs et l’entier relatif n : a 1 log = − log b log = log a − log b b b Exercices : Savoir Faire (livre) log(an ) = . . . . . . La fonction logarithme décimal 5- Propriétés- Relations fonctionnelles La fonction logarithme décimal Définition et propriétés Variations et limites Relations fonctionnelles Quels que soient les réels a et b, strictement positifs : log(a × b) = log a + log b Relation fonctionnelle Compléments Logarithmes décimaux Définition Propriétés Dérivée Variations Limites Relations fonctionnelles Quels que soient les réels a, b strictement positifs et l’entier relatif n : a 1 log = − log b log = log a − log b b b Exercices : Savoir Faire (livre) log(an ) = n log a La fonction logarithme décimal 5 - Exercices : Savoir Faire (livre)- Relations fonctionnelles La fonction logarithme décimal Définition et propriétés Variations et limites Relation fonctionnelle Compléments Logarithmes décimaux Définition Propriétés Logarithmes décimaux Livre Indice BORDAS - Page 143 Exercice 98 page 150 Exercices : Savoir Faire (livre) La fonction logarithme décimal
