antilles?guyane juin 2005
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antilles?guyane juin 2005
Correction Bac ES – Antilles–Guyane juin 2005 – 5 points Soit f une fonction dont le tableau de variations, incomplet est le suivant ; on désigne par f ’ la fonction dérivée de la fonction f . On admet que f est définie sur ]–∞ ; –1[ ∪ ]–1 ; +∞[ par : c où a, b et c sont des réels. f(x) = ax + b + x+1 1) f ’(x) = a – c . (x + 1)2 c 2) f(1) = 2 donc a + b + = 2 soit en multipliant par 2, 2a + 2b + c = 4. 2 c f(–3) = –6 donc –3a + b – = –6, soit en multipliant par 2, –6a + 2b – c = –12. 2 c f ’(1) = 0 donc a – = 0, soit en multipliant par 4, 4a – c = 0. 4 2a + 2b + c = 4 Donc, a, b et c sont solutions du système –6a + 2b – c = –12 . On trouve a = 1 ; b = –1 et c = 4. 4a – c = 0 4 Par suite, f(x) = x – 1 + . x+1 3) 4 = –∞. Par ailleurs, lim (x – 1) = –2 x + 1 x → –1 x → –1 x → –1 Donc, par somme, lim – f(x) = –∞ ∞. lim – (x + 1) = 0– donc, lim – x → –1 lim (x – 1) = + et lim x→+∞ x→+∞ 4 = 0 donc, par somme, lim f(x) = + . x+1 x→+∞ 4 . x+1 4 4 Par ailleurs, lim = 0 et lim = 0. x→+∞ x + 1 x→−∞ x + 1 Donc, la droite D d’équation y = x – 1 est bien asymptote à f en + et en –∞ ∞. 4 4 De plus, > 0 si x ∈ ]–1 ; + [ et < 0 si x ∈ ]–∞ ; –1[ x+1 x+1 Donc, f est en-dessous de D sur ]–∞ ∞ ; –1[ et f est au-dessus de D sur ]–1 ; + [. 4) f(x) – (x – 1) = 5) 4 dx = F(2) – F(1) avec F(x) = 4ln(x + 1). x + 1 1 3 Par suite, 12 [f(x) – (x – 1)] dx = 4ln(3) – 4ln(2) = 4ln( ). 2 Cette intégrale représente l’aire, en unité d’aire, de la partie du plan comprise entre et les droites d’équations x = 1 et x = 2. 2 1 [f(x) – (x – 1)] dx = 2 f, la droite D