Problème : Cosinus et sinus hyperboliques

Problème : Cosinus et sinus hyperboliques
Soit sh et ch les fonctions définies sur ℝ par :
e x −e−x
e x e− x
et ch  x =
sh x=
2
2
1) a) Calculer, pour tout x,
.
[ch x ]²−[ sh x]² .
b) Démontrer que : pour tout x,
ch 2x=[ch  x]²[ sh  x ] ²
et
sh 2x=2 ch x  sh  x  .
2) a) Etudier la parité de chacune des fonctions ch et sh.
b) Etudier variations et limites de chacune des fonctions sh et ch.
c) Dresser leurs tableaux de variation sur ℝ .
3) On note C et S les courbes représentatives respectives des fonctions ch et sh dans un repère
orthonormé O , i , j  du plan.
a) Etudier la position relative des courbes
C et S.
b) Démontrer que la courbe représentative Γ de la fonction f définie sur ℝ par
f  x =
ex
2
est asymptote aux courbes représentatives des fonctions ch et sh.
c) Tracer les courbes C , S et Γ dans le repère O , i , j 
CORRECTION
1) a)
e x e− x 2 e x −e−x 2 e 2x 2e−2x e 2x−2e−2x 4
 −
=
–
= =1
2
2
4
4
4
∀ x∈ℝ , ch  x ²− sh x²=1 .
ch  x ²− sh x²=
On a donc
b)
e x e− x 2 e x −e−x 2 e 2x 2e−2x e2x −2e−2x 2 e 2x2 e −2x
 
=

=
=ch 2x .
2
2
4
4
4
On a donc ∀ x∈ℝ , ch  x ² sh x²=ch 2x 
ch  x ² sh x²=
2)
2×e x e− x e x −e−x e x  ²−e−x ²
×
=
=sh 2x.
2
2
2
On a donc ∀ x∈ℝ , 2×ch  x×sh  x =sh 2x .
2×ch  x×sh  x =
3) On vérifie aisément que ch(-x) = ch(x) ∀ x∈ℝ donc la fonction ch est paire.
Et sh(-x) = - sh(x) , ∀ x∈ℝ donc sh est impaire.
4) sh est dérivable car somme de deux fonctions dérivables.
1
1
x
−x
x
−x
sh x= ×e −e  donc sh '  x = × e −−e =ch  x .
2
2
on sait que pour tout x, e x 0 donc sh'(x) > 0 et sh est strictement croissante sur ℝ .
5) ch est dérivable car somme de deux fonctions dérivables.
1
1
x
−x
x
−x
ch  x = ×e e  Donc ch '  x= ×e −e =sh  x .
2
2
étude du signe de la dérivée : e x −e−x 0⇔ e x e−x ⇔ x−x ⇔ x 0
On a donc :
lim e x =∞ et lim e−x =0 ( car
x∞
lim
ch
 x=∞ .
par somme,
lim e X =0
x∞
X  −∞
en posant X = - x. )
x ∞
lim ch  x=∞ .
De la même façon : x
−∞
lim sh x =−∞ et
lim sh x =∞ .
x −∞
x ∞
e x e−x
e x −e −x
e−x − x
−
=2
=e 0 pour tout x
2
2
2
donc ch(x) > sh(x) pour tout x et C est au-dessus de S.
6) a) ch  x  – sh  x =
b) il s'agit d'étudier le comportement de ch(x) – f(x) en ∞ .
e x e− x e x e−x
e−x
et
ch  x  – f  x=
− =
lim ch  x – f  x = lim
=0
2
2
2
x ∞
x∞ 2
donc la courbe Γ est
asymptote à
C
en
∞ .
x
−x
x
−x
e −e
e −e
sh  x – f  x =
− =
2
2
2
asymptote à S en ∞ .
et
−e−x
lim sh x  – f  x = lim
=0
2
x ∞
x ∞
donc la courbe Γ est