EXERCICE 2 Commun à tous les candidats Partie A QUESTION 1

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EXERCICE 2
Commun à tous les candidats
Partie A
QUESTION 1
Comme g est la somme de deux fonctions dérivables sur ℝ, elle est alors dérivable pour tout x
appartenant à ℝ.
Pour tout réel x : g ′ (x) = −1 + ex
g ′ (x) ≥ 0  𝑒 𝑥 ≥ 1
 𝑒 𝑥 ≥ 𝑒0
𝑥 ≥0
Le tableau de variations de g est donc :
x
-∞
g ′ (x)
−
0
0
+∞
+
g(x)
2
g(0) = 1 − 0 + 𝑒 0 = 2
Pour tout réel x appartenant à ℝ, on déduit que g(x) ≥ 2 > 0
QUESTION 2

En −∞
lim x + 1 = − ∞
x→−∞
x
lim
x→−∞ ex

= −∞
Par somme
lim f(x) = −∞
x→−∞
En +∞
lim x + 1 = +∞
x→+∞
x
lim ex
x→+∞
=0
Par somme
lim f(x) = +∞
x→+∞
QUESTION 3
La fonction f est dérivable comme somme et quotient de fonctions dérivables.
Pour tout réel x appartenant à ℝ :
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1ex − xex
(ex )2
x (1
e
− x)
=1+
x
e ex
(1 − x)
=1+
ex
ex + 1 − x
=
ex
−x (ex
=e
+ 1 − x)
f ′ (x) = 1 +
Donc f ′ (x) = e−x g(x)
QUESTION 4
e−x ≥ 0 pour tout réel x et g(x) > 0 d’après la question 1.
On déduit donc que f ′ (x) > 0.
Le tableau de variations de f est présenté ci-dessous :
x
-∞
0
f
′ (x)
+∞
+
+∞
f(x)
-∞
QUESTION 5
La fonction f est continue sur ℝ et strictement croissante. L'intervalle ℝ a pour image ℝ.
Comme 0 ∈ ] − ∞ ; +∞[, on déduit, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, que l'équation
f(x) = 0 possède dans ℝ une solution α unique.
Or f(−1) = −e−1 < 0 et f(0) = 1 > 0,
Donc : −1 < α<0
QUESTION 6a
L’équation de la tangente T est donnée par :
y= f ′ (0)(x − 0) + f(0) , donc 𝑦 = 2𝑥 + 1.
QUESTION 6b
x
Soit R(x)= f(x)−(2x + 1)= ex −x =
x
(1 − ex )
ex
Le tableau de signes de R(x) donne :
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x
-∞
0
+∞
x
x/e
−
0
+
1 − ex
+
0
−
R(x)
−
0
−
On déduit que la courbe représentative de f est toujours au-dessous de la droite T
Partie B
QUESTION 1
La fonction H est dérivable pour tout réel x appartenant à ℝ :
H ′ (x) = −e−x + (−x − 1)(−e−x )
= −e−x (x + 1 − 1)
= xe−x
= h(x)
La fonction H est alors une primitive de h sur ℝ.
QUESTION 2
Dans l’intervalle [1 ;3], C est en dessous de T, l’aire A du domaine D est :
3
A = ∫1 ((2x + 1) − f(x))dx
3
=∫1 x − h(x)dx
x2
3
= [ − H(x)]
1
2
−3
= 4 + 4e − 2e−1 u.a.
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