2014 Pondichéry Corrigé Ex. IIIs

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Corrigé Pondichéry 2014
Exercice 3 spécialité
QUESTION 1a
D’après le texte, les acheteurs de la marque X le mois n+1 sont formés de
- 50% des acheteurs de X du mois n donc 0,5xn
- 50% des acheteurs de Y du mois n donc 0,5yn
- 10% des acheteurs de Z du mois n donc 0,1zn
On a donc xn+1=0,5xn+0,5yn+0,1zn
QUESTION 1b
D’après le texte on peut dire que pour tout n, xn+yn+zn=1 donc zn=1-xn-yn
xn+1 = 0,5xn+0,5yn+0,1zn
= 0,5xn+0,5yn+0,1(1-xn-yn)
= 0,4xn+0,4yn+0,1
yn+1 = 0,4xn+0,3 yn+0,2zn
= 0,4xn+0,3 yn+0,2(1-xn-yn)
= 0,2xn+0,1yn+0,2
QUESTION 2a
En faisant tourner l’algorithme donné dans le texte, pour n=1 on entre une fois
dans la boucle TANT QUE ; on va donc appliquer une fois l’instruction
« U prend la valeur U*A+B »
0,5
La valeur de U en entrée de boucle est U0=( ) appliquons le programme de
0,3
calcul pour déterminer U1
U1 = A*U0+B
0,4 0,4
0,1
0,5
=(
)x( ) + ( )
0,2 0,1
0,2
0,3
0,32
0,1
=(
)+( )
0,13
0,2
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0,42
=(
)
0,33
Pour n=3, l’algorithme calcule successivement les termes de U1 à U3 en passant par
U2
U2 = A*U1+B
0,4 0,4
0,42
0,1
=(
)x(
)+( )
0,2 0,1
0,33
0,2
0,3
0,1
=(
)+( )
0,117
0,2
0,4
=(
)
0,317
Calculons U3
U3 =A*U2+B
0,4 0,4
0,4
0,1
=(
)x(
)+( )
0,2 0,1
0,317
0,2
0,3868
=(
)
0,3117
QUESTION 2b
Le mois de janvier correspond à n=0, donc le mois d’avril correspond à n=3
𝑥3
0,3868
La matrice U3 est la matrice (𝑦 ) et U3= (
)
0,3117
3
Par identification 𝑥3 = 0,3868
Donc la probabilité d’utiliser la marque X au mois d’avril est x3=0,3868
QUESTION 3a
C=A*C+B
⟺ I*C – A*C=B car I*C=C
⟺ (I-A) *C=B
⟺ N*C=B ce qu’il fallait démontrer
QUESTION 3b
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N * C=B
⟺ C=N-1 * B
45
⟺ C=(23
10
23
45
⟺ C=(23
10
20
0,1
23
30) x (0,2)
23
20
1
10
23
30) x ( 2 )
23 23
45+40
10
17
230
⟺ C =(10+60
) = (46
7)
230
23
QUESTION 4a
Vn+1 =Un+1-C
=A*Un+ B-C or la matrice C est définie par C=A*C+B
Donc Vn+1 =A*Un+ B - A*C - B
=A* (Un-C)
=An*Vn
QUESTION 4b
Le mois de janvier correspond à n=0 donc le mois de mai correspond à n=4. Les
probabilités d’utiliser les marques X, Y et Z au mois de mai sont respectivement de
x4, y4 et z4
On cherche donc U4 qui donnera x4 et y4 puis on calculera z4=1-x4-y4
D’après la relation de l’énoncé
U4
=A4 * (U0-C)+C
0,3794
=(
)
0,30853
𝑥4
= (𝑦 )
4
Par identification on trouve
𝑥4 = 0,3794
et
𝑦4 = 0,30853
Calculons z4avec la formule z4=1-x4-y4
1-0,3794-0,30853=0,31207
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Donc les probabilités d’utiliser les marques X, Y et Z au mois de mai sont
respectivement x4=0,3794, y4=0,30853 et z4=0,31207
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