2014 Antilles Guyane Corrige Ex. IVs

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Antilles Juin 2014
EXERCICE 4 Candidats ayant choisi l’enseignement de spécialité
QUESTION 1a
Le nombre maximal de nuitées dans l’hébergement A est :
𝑥≤
Comme 𝑥 est un entier naturel, 𝑥 ≤ 18
438
= 18.25
24
Le nombre maximal de nuitées dans l’hébergement B est :
438
𝑦≤
≈ 9.733
45
Puisque y est un entier naturel, on déduit que 𝑦 ≤ 9.
QUESTION 1b
Entrée :
𝑥 et 𝑦 sont deux nombres
Traitement :
Pour 𝑥 variant de 0 à 18
Pour 𝑦 variant de 0 à 9
Si 24𝑥 + 45𝑦 = 438
Afficher 𝑥 et 𝑦
Fin Si
Fin Pour
Fin Pour
Fin Traitement
(1)
(2)
(3)
QUESTION 2
Le coût de la réservation est donné par :
24𝑥 + 45𝑦 = 3 × 8𝑥 + 3 × 15𝑦
= 3(8𝑥 + 15𝑦)
On retrouve donc que le coût total de la réservation est un multiple de 3.
QUESTION 3a
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15 et 8 sont deux nombres entiers premiers entre eux. D’après le théorème de Bézout, il existe
au moins un couple (𝑥 ; 𝑦) d’entiers relatifs tel que 15𝑥 + 8𝑦 = 1.
QUESTION 3b
On a :
8 × 2 + 15 × (−1) = 1
Donc le couple (2 ; −1) est une solution de cette équation
QUESTION 3c
On a 8× 2 + 15 × (−1) = 1. En multipliant les deux membres de l’égalité précédente par
146, on obtient :
8 × 292 + 15 × (−146) = 146
Donc, le couple (292 ; −146) est un couple solution de (E). Soit (𝑥 ; 𝑦) un autre couple solution
de (E), alors :
8𝑥 + 15𝑦 = 8 × 292 + 15 × (−146)
8(𝑥 − 292) = 15(−𝑦 − 146)
8 et 15 sont des nombres premiers entre eux. D’après le théorème de Gauss, Il existe un entier
𝑘 tel que :
𝑥 − 292 = 15𝑘 et – 𝑦 − 146 = 8𝑘
Soit 𝑥 = 292 + 15𝑘 et 𝑦 = −146 − 8𝑘
Les couples solutions sont donc de la forme (292 + 15𝑘 ; −146 − 8𝑘).
Réciproquement, de tels couples sont bien solution de (E) car :
8𝑥 + 15𝑦 = 8(292 + 15𝑘) + 15(−146 − 8𝑘)
= 2336 + 120𝑘 − 2190 + 120𝑘
= 146
Les couples d’entiers relatifs solutions de l’équation (E) sont donc
(292 + 15𝑘 ; −146 − 8𝑘), 𝑘 ∈ ℤ.
QUESTION 4
Soit x et y le nombre de nuitées passées respectivement dans les hébergements A et B. Le
problème revient à résoudre l’équation
24𝑥 + 45𝑦 = 438.
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En la divisant par 3, elle devient équivalente à l’équation:
8𝑥 + 15𝑦 = 146.
On sait que 𝑥 = 292 + 15𝑘 et que 0 ≤ 𝑥 ≤ 13, d’où :
0 ≤ 292 + 15𝑘 ≤ 13
−292
−279
≤𝑘≤
15
15
−19.47 ≤ 𝑘 ≤ −18.6
La seule valeur possible pour 𝑘 est donc -19.
On déduit que le couple solution (𝑥 ; 𝑦) est :
𝑥 = 292 + 15 × (−19) = 7
𝑦 = −146 − 8 × (−19) = 6
En conclusion, le randonneur a passé 7 nuits en hébergement A et 6 nuits en hébergement B.
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