1 Nombres complexes – Exercices corrigés Terminale S (T S)

Nombres complexes – Exercices corrigés
Terminale S (Tale S)
Exercice 1 (2 questions)
Niveau : facile
L’objectif de cet exercice est de résoudre dans
1- Démontrer qu’il existe des réels ,
2- Résoudre dans
l’équation
l’équation
suivante :
et tels que, pour tout complexe :
.
Exercice 2 (1 question)
Niveau : moyen
Déterminer la nature des trois transformations complexes suivantes :
Correction de l’exercice 1
Soit l’équation
:
1- Pour tout complexe :
Les polynômes
et
coefficients sont égaux. D’où le système suivant à résoudre :
sont égaux si et seulement si leurs
{
C’est-à-dire :
{
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Ainsi, pour tout complexe :
2- D’après ce qui précède,
Donc :
{
Or, pour tout
:


{
En posant
le discriminant du trinôme
Comme
{
,
, alors le trinôme admet deux racines complexes distinctes :
̅̅̅̅̅̅
̅
Ainsi, l’équation
admet 4 racines complexes :
;
;
;
.
Correction de l’exercice 2
Rappel de cours :
Soient



et
deux points quelconques distincts du plan complexe.
est l’image de par la translation de vecteur ⃗ si et seulement si
⃗
est l’image de par la rotation de centre et d’angle ssi
est l’image de par l’homothétie de centre et de rapport (réel non nul) si et seulement si
1- L’application
est la translation de vecteur ⃗
2- Recherchons le point fixe de la transformation
.
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2
On a donc :
avec
Ainsi, l’application
et d’angle
est la rotation de centre
3- Recherchons le point fixe de la transformation
.
.
On a donc :
(
)
avec
L’application
est par conséquent l’homothétie de centre
et de rapport
.
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